Question

【題目】已知：如圖，平面直角坐標系中，，，點C是x軸上一點，點D為OC的中點．

（1）求證：BD∥AC；

（2）若點C在x軸正半軸上，且BD與AC的距離等于2，求點C的坐標；

（3）如果于點E，當四邊形ABDE為平行四邊形時，求直線AC的解析式．

Answer 1

【答案】（1）BD∥AC；（2）；（3）

【解析】

（1）由A與B的坐標求出OA與OB的長，進而得到B為OA的中點，而D為OC的中點，利用中位線定理即可得證；

（2）如圖1，作BF⊥AC于點F，取AB的中點G，確定出G坐標，由平行線間的距離相等求出BF的長，在直角三角形ABF中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出FG的長，進而確定出三角形BFG為等邊三角形，即∠BAC=30°，設OC=x，則有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根據OA的長求出x的值，即可確定出C坐標；

（3）如圖2，當四邊形ABDE為平行四邊形時，AB∥DE，進而得到DE垂直于OC，再由D為OC中點，得到OE=CE，再由OE垂直于AC，得到三角形AOC為等腰直角三角形，求出OC的長，確定出C坐標，設直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標代入求出k與b的值，即可確定出AC解析式．

（1），，

，，點B為線段OA的中點，

點D為OC的中點，即BD為的中位線，

；

（2）如圖1，作于點F，取AB的中點G，則，

，BD與AC的距離等于2，

，

在中，，，點G為AB的中點，

，

是等邊三角形，.

，

設，則，

根據勾股定理得：，

，

，

點C在x軸的正半軸上，

點C的坐標為；

（3）如圖2，當四邊形ABDE為平行四邊形時，，

，

點D為OC的中點，

，

，

，

，

點C在x軸的正半軸上，

點C的坐標為，

設直線AC的解析式為.

將，得

，

解得：.

直線AC的解析式為.