【題目】2013年浙江義烏10分)小明合作學(xué)習(xí)小組在探究旋轉(zhuǎn)、平移變換.如圖△ABC,△DEF均為等腰直角三角形,各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1,1),B22),C2,1),D0),E, 0),F).

1)他們將△ABCC點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)450得到△A1B1C.請(qǐng)你寫出點(diǎn)A1,B1的坐標(biāo),并判斷A1CDF的位置關(guān)系;

2)他們將△ABC繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)450,發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上.請(qǐng)你求出符合條件的拋物線解析式;

3)他們繼續(xù)探究,發(fā)現(xiàn)將△ABC繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45,若旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上,則可求出旋轉(zhuǎn)后三角形的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo).請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的所有坐標(biāo).

【答案】解:(1。

A1CDF的位置關(guān)系是平行。

2∵△ABC繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后的三角形即為△DEF

∴①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)D、E時(shí),根據(jù)題意可得:,解得。

。

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)D、F時(shí),根據(jù)題意可得:,解得。

。

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)EF時(shí),根據(jù)題意可得:,解得

。

3)在旋轉(zhuǎn)過程中,可能有以下情形:

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)A、B落在拋物線上,如答圖1所示,

易求得點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,)。

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)BC落在拋物線上,如答圖2所示,

設(shè)點(diǎn)B′,C′的橫坐標(biāo)分別為x1x2,

易知此時(shí)B′C′與一、三象限角平分線平行,設(shè)直線B′C′的解析式為y=x+b

聯(lián)立y=x2y=x+b得:x2=x+b,即,。

∵B′C′=1根據(jù)題意易得:,,即

,解得。

,解得x

點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)較小,。

當(dāng)時(shí),

∴P,)。

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)C、A落在拋物線上,如答圖3所示,

設(shè)點(diǎn)C′,A′的橫坐標(biāo)分別為x1,x2

易知此時(shí)C′A′與二、四象限角平分線平行,設(shè)直線C′A′的解析式為。

聯(lián)立y=x2得:,即,。

∵C′A′=1,根據(jù)題意易得:,即

,解得

,解得x

點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)較大,

當(dāng)時(shí),

∴P,)。

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)AB落在拋物線上.

因?yàn)槟鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后,直線A′B′y軸平行,因?yàn)榕c拋物線最多只能有一個(gè)交點(diǎn),故此種情形不存在。

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)B、C落在拋物線上,如答圖4所示,

同理,可求得:P,)。

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)C、A落在拋物線上,如答圖5所示,

同理,可求得:P,)。

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(0),(),P,,(,)。

【解析】

1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及等腰直角三角形邊角關(guān)系求解。

2)首先明確△ABC繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后的三角形即為△DEF,然后分三種情況進(jìn)行討論,分別計(jì)算求解。

3)旋轉(zhuǎn)方向有順時(shí)針、逆時(shí)針兩種可能,落在拋物線上的點(diǎn)有點(diǎn)A和點(diǎn)B、點(diǎn)B和點(diǎn)C、點(diǎn)C和點(diǎn)D三種可能,因此共有六種可能的情形,需要分類討論,避免漏解。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°AC=8,BC=6,D、E分別是ABBC上的點(diǎn).把△ABC沿著直線DE折疊,頂點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′

1)如圖1,點(diǎn)B′恰好落在線段AC的中點(diǎn)處,求CE的長(zhǎng);

2)如圖2,點(diǎn)B′落在線段AC上,當(dāng)BD=BE時(shí),求B′C的長(zhǎng);

3)如圖3,EBC的中點(diǎn),直接寫出AB′的最小值.

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【題目】已知∠AOB90°,在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C,將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合,它的兩條直角邊分別與OA,OB(或它們的反向延長(zhǎng)線)相交于點(diǎn)D,E.

當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CDOA垂直時(shí)(如圖①),易證:ODOEOC;

當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CDOA不垂直時(shí),即在圖②,圖③這兩種情況下,上述結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,線段OD,OE,OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,不需證明.

  

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【題目】在一個(gè)不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種球共50個(gè),小穎做摸球?qū)嶒?yàn),她將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色,再把它放回盒子中,不斷重復(fù)上述過程,下表是實(shí)驗(yàn)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

摸球的次數(shù)

100

200

300

500

800

1000

3000

摸到白球的次數(shù)

65

124

278

302

481

599

1803

摸到白球的頻率

0.65

0.62

0.593

0.604

0.601

0.599

0.601

1)請(qǐng)估計(jì)當(dāng)很大時(shí),摸到白球的頻率將會(huì)接近 (精確到0.1);

2)假如摸一次,摸到黑球的概率 ;

3)試估算盒子里黑顏色的球有多少只.

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【題目】如圖,正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,將BD向兩個(gè)方向延長(zhǎng),分別至點(diǎn)E和點(diǎn)F,且使BEDF

1)求證:四邊形AECF是菱形;

2)若AC4,BE1,求菱形AECF的邊長(zhǎng)和面積.

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【題目】已知:二次函數(shù)滿足下列條件:①拋物線y=ax2+bx與直線y=x只有一個(gè)交點(diǎn);②對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,a(-x+52+b(-x+5)=ax-32+bx-3)都成立.

1)求二次函數(shù)y=ax2+bx的解析式;

2)若當(dāng)-2xrr0)時(shí),恰有ty1.5r成立,求tr的值.

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【題目】某養(yǎng)雞場(chǎng)有2500只雞準(zhǔn)備對(duì)外出售.從中隨機(jī)抽取了一部分雞,根據(jù)它們的質(zhì)量(單位:),繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②.請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:

(Ⅰ)圖①中的值為 ;

(Ⅱ)求統(tǒng)計(jì)的這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);

(Ⅲ) 根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)這2500只雞中,質(zhì)量為的約有多少只?

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【題目】如圖,點(diǎn)A、B、C在同一直線上,ABD,△BCE都是等邊三角形.

(1)求證:AE=CD

(2)若M,N分別是AE,CD的中點(diǎn),試判斷BMN的形狀,并證明你的結(jié)論.

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