Question

【題目】如圖，在菱形 OA BC 中，已知點(diǎn) B（8，4），C（5，0），

點(diǎn) D 為 OB、AC 交點(diǎn)，點(diǎn) P 從原點(diǎn)出發(fā)向 x 軸正方向運(yùn)動(dòng)；

（1） 在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若∠OBP=900，求出點(diǎn) P 坐標(biāo)；

（2） 在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若∠PDC+∠BCP=900，求出點(diǎn) P 坐標(biāo)；

（3） 點(diǎn) P 在（2）的位置時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) M 從點(diǎn) P 出發(fā)沿 x 軸正方向運(yùn)動(dòng)，連結(jié) BM，若點(diǎn) P 關(guān)于BM 的對(duì)稱點(diǎn) P’到 AB 所在直線的距離為 2，求此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（10,0）（2）(8，0)（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(8+,0)或(8+4,0)

【解析】分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)有OD=BD，根據(jù)∠OBP=90 ，得到CD∥BP，根據(jù)中位線的性質(zhì)求解即可.

根據(jù) 得到,求出,得到點(diǎn)P在以OB為直徑的⊙D上，即可求解.

過(guò)點(diǎn)P′作P′N⊥AB交直線AB于點(diǎn)N，交軸于點(diǎn)K，記BM與PP′交點(diǎn)為L，分點(diǎn)P′在直線AB下方時(shí)和點(diǎn)P′在直線AB上方時(shí)兩種情況進(jìn)行討論即可.

詳解：（1）在菱形OABC中，有OD=BD，

∵∠OBP=90，∴CD∥BP

∵OD=BD，∴OC=PC

∵C（5,0），

∴P

(2)∵

∴,

∵OC=BC，∴,

∵

,

∴

∴,

∵D為OB中點(diǎn),

∴點(diǎn)P在以OB為直徑的⊙D上，

∴

故點(diǎn)P(8，0).

（3）過(guò)點(diǎn)P′作P′N⊥AB交直線AB于點(diǎn)N，交軸于點(diǎn)K，記BM與PP′交點(diǎn)為L

①如圖，當(dāng)點(diǎn)P′在直線AB下方時(shí)，

∵點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于BM對(duì)稱

∴

∵ ,

∴Rt△BNP′≌Rt△PKP′,

∴

即為等邊三角形，

在Rt△PLM中，∵，∴PM2=22+（PM）2

解得PM=,∴OM=8+,

∴M1(8+,0),

②如圖，當(dāng)點(diǎn)P′在直線AB上方時(shí)

∵點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于BM對(duì)稱

∴

在中，

∵′,∴,

∴

∵

∵

∵

在Rt△BPM中,

∵BP=4,∴PM=BP=4

∴OM=8+4 ,

∴M2(8+4,0)

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(8+,0)或(8+4,0)