Question

【題目】已知兩直線l1，l2分別經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（﹣3，0），并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于y正半軸的點(diǎn)C時(shí)，恰好有l1⊥l2，經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的對(duì)稱軸與直線l2交于點(diǎn)K，如圖所示．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式；

（2）拋物線的對(duì)稱軸被直線l1，拋物線，直線l2和x軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

（3）當(dāng)直線l2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點(diǎn)M，簡述理由，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數(shù)解析式為;（2）截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF．理由見解析；（3）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為（﹣2，），（﹣1，）時(shí)，△MCK為等腰三角形．

【解析】

解：（1）∵l1⊥l2，

∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠BCO=90°，

又∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠BCO=∠CAO,又∠COA=∠BOC=90°

∴△BOC∽△COA，

∴ ，

即，

∴，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，），

由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，

把A（1，0），B（﹣3，0）的坐標(biāo)分別代入，

得 ，

解這個(gè)方程組，得，

∴拋物線的函數(shù)解析式為．

（2）截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF．

理由如下：

可求得直線l1的解析式為，直線l2的解析式為，

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，

由此可求得點(diǎn)K的坐標(biāo)為（﹣1，），

點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴KD=，DE=，EF=，

∴KD=DE=EF．

（3）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為（﹣2，），（﹣1，）時(shí)，△MCK為等腰三角形．

理由如下：

（i）連接BK，交拋物線于點(diǎn)G，易知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣2，），

又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），則GC∥AB，

∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK為正三角形，

∴△CGK為正三角形

∴當(dāng)l2與拋物線交于點(diǎn)G，即l2∥AB時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（﹣2，），

（ii）連接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC為等腰三角形，

∴當(dāng)l2過拋物線頂點(diǎn)D時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)M2坐標(biāo)為（﹣1，），

（iii）當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右邊時(shí)，只有點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，滿足CM=CK，

但點(diǎn)A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形，

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為（﹣2，），（﹣1，）時(shí)，△MCK為等腰三角形．