Question

【題目】如圖，AB是⊙C的直徑，M、D兩點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，E是⊙C的點(diǎn)，且DE2＝DBDA，延長(zhǎng)AE至F，使得AE＝EF，設(shè)BF＝5，cos∠BED＝．

（1）求證：△DEB∽△DAE；

（2）求DA、DE的長(zhǎng)；

（3）若點(diǎn)F在B、E、M三點(diǎn)確定的圓上，求MD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD＝，ED＝；（3）

【解析】

（1）利用兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明即可．

（2）由 ，即： ，即可求解．

（3）在△BED中，過(guò)點(diǎn)B作HB⊥ED于點(diǎn)H，設(shè)HD＝x，利用勾股定理構(gòu)建方程解決問(wèn)題即可．

解：（1）∵DE2＝DBDA，

∴ ，

又∵∠D＝∠D，

∴△DEB∽△DAE．

（2）∵△DEB∽△DAE，

∴∠DEB＝∠DAE＝α，

∵AB是直徑，

∴∠AEB＝90°，又AE＝EF，

∴AB＝BF＝5，

∴∠BFE＝∠BAE＝α，則BF⊥ED交于點(diǎn)H，

∵ ，則BE＝3，AE＝4

∴，即：

解得：

則AD＝AB+BD＝，

ED＝．

（3）由點(diǎn)F在B、E、M三點(diǎn)確定的圓上，則BF是該圓的直徑，連接MF，

∵BF⊥ED，∠BMF＝90°，∴∠MFB＝∠D＝β，

在△BED中，過(guò)點(diǎn)B作HB⊥ED于點(diǎn)H，

設(shè)HD＝x，則

則

解得：

則 ，則

DM＝BD﹣MB＝．