Question

如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，CD⊥AB且CD=AB.直線BE與軸平行，點(diǎn)F是射線BE上的一個動點(diǎn)，連接AD、AF、DF.

（1）若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，），AF=.
①求此拋物線的解析式；
②點(diǎn)P是此拋物線上一個動點(diǎn)，點(diǎn)Q在此拋物線的對稱軸上，以點(diǎn)A、F、P、Q為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）若，，且AB的長為，其中.如圖2，當(dāng)∠DAF=45時，求的值和∠DFA的正切值.

Answer 1

（1）y=x²-x+ Q₁(,3) Q₂(,5) Q₃(,7)

試題分析（1）：由題意。根據(jù)勾股定理易得到，點(diǎn)A B的坐標(biāo)，將點(diǎn)代入解析式中求出b c 的值，因?yàn)閷ΨQ軸x=，所以，設(shè)Q（，n） P(m, m²+m+),∵QP//AF.且QP="AF.∴AF與PQ的斜率相同，即解析式中的k相等，將點(diǎn)A" F的坐標(biāo)代人y=kx+b中得到AF的解析式，即可以得到PQ的解析式，含有m,n的方程，解得Q的坐標(biāo)值。（2）問，做輔助線，過點(diǎn)D做DM//X軸，交拋物線與M,過點(diǎn)A做AH⊥Y軸，得到矩形，由此證得△ABF≌△AHM，及△AFD≌△AMD,得，∠DFA=∠AFB由于C為中點(diǎn)，∴DG=CB=HD=t，設(shè)DF=x,∴DF²=DG²+GF²∴(t+x)²=t²+(2t-x)² 解得x = tan∠DFA==3. 解：（1）①∵直線BE與軸平行，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，1），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），∠FBA=90，BF=1.
在Rt△EFM中，AF=，
∴. 
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0）.
∴拋物線的解析式為. ......................... 1分
②點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，3），（，5），（，7）.  ................... 4分
閱卷說明：答對1個得1分.
（2）∵，，
∴.
∴.
由 ，
.
解得 ，.
∵，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0）.
∴AB=，即 .  ............................................. 5分
方法一：過點(diǎn)D作DG∥軸交BE于點(diǎn)G，
AH∥BE交直線DG于點(diǎn)H，延長
DH至點(diǎn)M，使HM=BF.（如圖）

∵DG∥軸，AH∥BE，
∴四邊形ABGH是平行四邊形.
∵∠ABF=90，
∴四邊形ABGH是矩形.
同理四邊形CBGD是矩形.
∴AH=GB=CD=AB=GH=.
∵∠HAB=90，∠DAF=45，
∴∠1+∠2=45.
在△AFB和△AMH中，
 
∴△AFB≌△AMH.  6分
∴∠1=∠3，AF=AM，∠4=∠M.
∴∠3+∠2="45."
在△AFD和△AMD中，

∴△AFD≌△AMD.
∴∠DFA=∠M，FD=MD.
∴∠DFA=∠4.  ............................................................ 7分
∵C是AB的中點(diǎn)，
∴DG=CB=HD=.
設(shè)BF=，則GF=，FD=MD=.
在Rt△DGF中，，
∴，
解得 .
∴.  ...................................... 8分
方法二：過點(diǎn)D作DM⊥AF于M.（如圖）

∵CD⊥AB，DM⊥AF，
∴∠NCA=∠DMN=90.
∵∠1=∠2，
∴∠NAC=∠NDM.
∴tan∠NAC=tan∠NDM.
∴.  …………………………….6分
∵C是AB的中點(diǎn)，CD=AB=，
∴AC=，.
∵∠DAM=45，
∴. 
設(shè) CN=，則DN=.
∴.
∴.
在Rt△DNM中，，
∴.
.
.
∴，（舍）.
∴CN=， ................................................................ 7分
AN=.
∵EB∥軸，
∴EB⊥軸.
∵CD⊥AB，
∴CD∥EB.
∴.
∴AF=.
∴MF= AFAM=.
∴.  ...................................... 8分
^∴考點(diǎn)：
點(diǎn)評：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的判定，還有正切值的求法，本題的關(guān)鍵是做輔助線的基礎(chǔ)上找到等角的關(guān)系，由全等三角形的判定知邊度關(guān)系，再由正切定理把設(shè)的未知數(shù)舍去而求之，本題做法不唯一，可根據(jù)已知靈活應(yīng)用。屬于難題，綜合性強(qiáng)，中考易出的題型。