Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，連結(jié)BE，在BE的下方作等邊△BEF，連結(jié)DF．當(dāng)△BDF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠DBF的度數(shù)是_____．

Answer 1

【答案】30°

【解析】

連接CF，由條件可以得出∠ABE＝∠CBF，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以證明△BAE≌△BCF，從而可以得出∠BCF＝∠BAD＝30°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG，則FD＝FG，依據(jù)當(dāng)B，F，G在同一直線上時(shí)，DF+BF的最小值等于線段BG長(zhǎng)，可得△BDF的周長(zhǎng)最小，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到∠DBF的度數(shù)．

如圖，連接CF，

∵△ABC、△BEF都是等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，

∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，

∴∠ABE＝∠CBF，

在△BAE和△BCF中，

，

∴△BAE≌△BCF（SAS），

∴∠BCF＝∠BAD＝30°，

如圖，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG，則FD＝FG，

∴當(dāng)B，F，G在同一直線上時(shí)，DF+BF的最小值等于線段BG長(zhǎng)，此時(shí)△BDF的周長(zhǎng)最小，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，

∴△DCG是等邊三角形，

∴DG＝DC＝DB，

∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，

故答案為：30°．