【題目】在直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,點A坐標(biāo)為(1,0),以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作等邊△OAB,C為x軸正半軸上的一個動點(OC>1),連接BC,以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCD,直線DA交y軸于E點.

(1)如圖,當(dāng)C點在x軸上運動時,設(shè)AC=x,請用x表示線段AD的長;
(2)隨著C點的變化,直線AE的位置變化嗎?若變化,請說明理由;若不變,請求出直線AE的解析式.
(3)以線段BC為直徑作圓,圓心為點F,當(dāng)點C坐標(biāo)為多少時直線EF∥直線BO?這時OF和直線BO的位置關(guān)系如何?請給予證明.

【答案】
(1)解:∵△OAB和△BCD都為等邊三角形,

∴OB=AB,BC=BD,∠OBA=∠DBC=60°,即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC,

∴∠OBC=∠ABD,

在△OBC和△ABD中,

∴△OBC≌△ABD(SAS),

∴AD=OC=1+x


(2)解:隨著C點的變化,直線AE的位置不變.理由如下:

由△OBC≌△ABD,得到∠BAD=∠BOC=60°,

又∵∠BAO=60°,

∴∠DAC=60°,

∴∠OAE=60°,又OA=1,

在直角三角形AOE中,tan60°= ,則OE= ,

點E坐標(biāo)為(0,﹣ ),A(1,0),

設(shè)直線AE解析式為y=kx+b,把E和A的坐標(biāo)代入,得

,解得: ,

所以直線AE的解析式為y= x﹣


(3)解:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示1:

∵∠BOA=∠DAC=60°,EA∥OB,又EF∥OB,則EF與EA所在的直線重合,

∴點F為DE與BC的交點,

又F為BC中點,

∴A為OC中點,又AO=1,則OC=2,

∴當(dāng)C的坐標(biāo)為(2,0)時,EF∥OB;

這時直線BO與⊙F相切,理由如下:

∵△BCD為等邊三角形,F(xiàn)為BC中點,

∴DF⊥BC,又EF∥OB,

∴FB⊥OB,即∠FBO=90°,

故直線BO與⊙F相切


【解析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),可得∠OBA=∠DBC=60°,即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC,根據(jù)等式的性質(zhì),可得∠OBC=∠ABD,,根據(jù)SAS得到△OBC≌△ABD,即可得到對應(yīng)邊AD與OC相等,由OC表示出AD即可;(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì),可得∠BAD=∠BOC=60°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),可得∠BAO=60°,根據(jù)平角定義及對頂角相等,可得∠OAE=60°,根據(jù)tan60°的定義求出OE的長,確定出點E的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法,將點A和E的坐標(biāo)代入即可確定出解析式;(3)根據(jù)平行線的性質(zhì),可得EF與EA重合,根據(jù)三角形的中位線,得A為OC中點,根據(jù)線段中點的性質(zhì),可得C的坐標(biāo);根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),可得DFBC,根據(jù)平行線的性質(zhì),可得BF與OB垂直,根據(jù)切線的判定,可得答案。
【考點精析】關(guān)于本題考查的角的平分線和等邊三角形的性質(zhì),需要了解從一個角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的平分線;等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能得出正確答案.

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③不論a取什么實數(shù),2x+y的值始終不變;
④若y=x2+5,則a=﹣4. 以上說法正確的是( )
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D.②③

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B.三角形內(nèi)角和等于180°
C.如果三角形兩條邊長的平方和等于第三邊長的平方
D.如果三角形兩條邊長的平方和等于第三邊長的平方,那么這個三角形是直角三角形

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