Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向運(yùn)動(dòng)，速度是2cm/s，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s．

（1）幾秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm？

（2）幾秒后△PCQ與△ABC相似？

（3）設(shè)△CPQ的面積為S1，△ABC的面積為S2，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）10秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm；（2）故秒或秒后△PCQ與△ABC相似；

（3）運(yùn)動(dòng)10秒或15秒時(shí)，S1：S2=2：5．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)x秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm，用x表示出CP、CQ，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可；

（2）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)系式，解方程即可；

（3）用t分別表示出CP、CQ，根據(jù)題意列出方程，解方程即可．

解：（1）設(shè)x秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm，

則CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，

由題意得，（2x）2+（25﹣x）2=252，

解得，x1=10，x2=0（舍去），

則10秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm；

（2）設(shè)y秒后△PCQ與△ABC相似，

當(dāng)△PCQ∽△ACB時(shí)，=，即=，

解得，y=，

當(dāng)△PCQ∽△BCA時(shí)，=，即=，

解得，y=，

故秒或秒后△PCQ與△ABC相似；

（3）△CPQ的面積為S1=×CQ×CP=×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，

△ABC的面積為S2=×AC×BC=375，

由題意得，5（﹣t2+25t）=375×2，

解得，t1=10，t2=15，

故運(yùn)動(dòng)10秒或15秒時(shí)，S1：S2=2：5．