Question

【題目】如圖，在等腰 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，P 是射線CB上一點(在B點右側(cè))，連接AP，延長PC至點Q，使得 CQ=CP，過點Q作QH⊥AP交PA延長線于點H，交BA延長線于點M，用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

Answer 1

【答案】，證明見解析.

【解析】

過M作MD⊥PQ，連接AQ，由垂直平分線的性質(zhì)可得AQ=AP，設(shè)∠PAB==∠MAH，利用角度關(guān)系可推出∠QAM==∠AMQ，進而得到AQ=QM，再證明△QMD≌△APC得到MD= PC=PQ，最后根據(jù)△MDB為等腰直角三角形可得出MB與PQ之間的關(guān)系.

解：，證明如下：

如圖所示，過M作MD⊥PQ，連接AQ，

∵∠ACB=90°，CQ=CP

∴AC垂直平分PQ，

∴AQ=AP，

∴∠QAC=∠PAC，

設(shè)∠PAB==∠MAH，∵△ABC為等腰直角三角形

∴∠QAC=∠PAC=45°+，

∴∠QAH=180°-∠QAC-∠PAC=

∴∠QAM=∠QAH+∠MAH=

∵PH⊥QM，

∴∠MHA=90°，

∴∠AMQ=

∴∠QAM=∠AMQ

∴AQ=QM

又∵AQ=AP

∴QM=AP

∵∠P+∠MQD=90°，∠QMD+∠MQD=90°，

∴∠QMD=∠P

在△QMD和△APC中，

∴△QMD≌△APC（AAS）

∴MD=PC=PQ

∵∠MDB=90°，∠MBD=45°，

∴△MDB為等腰直角三角形

∴MB=MD=PQ

即PQ=MB.