Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，2)．點(diǎn)M是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合)，反比例函數(shù)y＝(k＞0，x＞0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)M且與邊AB交于點(diǎn)N，連接MN．

(1)當(dāng)點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)時(shí)．

①求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

②求△OMN的面積；

(2)在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，試證明：是一個(gè)定值．

Answer 1

【答案】(1)①y＝；②3；(2)證明見解析.

【解析】

（1）①由矩形的性質(zhì)及M是BC中點(diǎn)得出M（2，4），據(jù)此可得反比例函數(shù)解析式；

②先求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而得出CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，再根據(jù)S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN計(jì)算可得．

（2）設(shè)M（a，2），據(jù)此知反比例函數(shù)解析式為y＝，求出N（4，），從而得BM＝4﹣a，BN＝2﹣，再代入計(jì)算可得．

(1)①∵點(diǎn)B(4，2)，且四邊形OABC是矩形，

∴OC＝AB＝2，BC＝OA＝4，

∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，

∴CM＝2，

則點(diǎn)M(2，2)，

∴反比例函數(shù)解析式為y＝；

②當(dāng)x＝4時(shí)，y＝＝1，

∴N(4，1)，

則CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，

∴S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN

＝4×2﹣×4×1﹣×2×2﹣×2×1

＝3；

(2)設(shè)M(a，2)，

則k＝2a，

∴反比例函數(shù)解析式為y＝，

當(dāng)x＝4時(shí)，y＝，

∴N(4，)，

則BM＝4﹣a，BN＝2﹣，

∴＝＝＝2．