【題目】如圖,把OAB放置于平面直角坐標系xOy中,OAB=90°,OA=2,AB=,把OAB沿x軸的負方向平移2OA的長度后得到DCE.

1若過原點的拋物線y=ax2+bx+c經過點B、E,求此拋物線的解析式;

2若點P在該拋物線上移動,當點p在第一象限內時,過點p作PQx軸于點Q,連接OP.若以O、P、Q為定點的三角形與以B、C、E為定點的三角形相似,直接寫出點P的坐標;

3若點M4,n在該拋物線上,平移拋物線,記平移后點M的對應點為M,點B的對應點為B.當拋物線向左或向右平移時,是否存在某個位置,使四邊形MBCD的周長最短?若存在,求出此時拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.

【答案】1y=x2;2P1,或P ,3存在,將拋物線向左平移個單位時,四邊形MBCD的周長最短,此時拋物線的解析式為y=x+2

【解析】

試題分析:1根據(jù)平移的性質求得B,E的坐標,然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;2點P的坐標可設為x,,因為BEC=OQP=90°,所以以O、P、Q為頂點的三角形與以B、C、E為頂點的三角形相似時,Q與E一定對應,然后分兩種情況進行討論:iOQP∽△BEC;iiPQO∽△BEC;根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例式,求解即可;3左右平移時,使M'D+CB'最短即可,那么作出點M關于x軸對稱點的坐標為M,得到直線BM的解析式,令y=0,求得相應的點的坐標;進而得到拋物線頂點平移的規(guī)律,用頂點式設出相應的函數(shù)解析式,把新頂點坐標代入即可.

試題解析:1依題意得:B2,,OC=2,CE=,E2,

拋物線經過原點和點B、E,設拋物線的解析式為y=ax2a0

拋物線經過點B2,,=4a.解得:a=

拋物線的解析式為y=x2;

2點P在拋物線上,設點P的坐標為x,x2

分兩種情況:iOQP∽△BEC時,則,即 ,解得:x=1,點P的坐標為1,;

iiPQO∽△BEC時,則,即,解得:x=,點P的坐標為

綜上所述,符合條件的點P的坐標是P1,或P ,;

3存在.

因為線段MB和CD的長是定值,所以要使四邊形MBCD的周長最短,只要使MD+CB最短.

如果將拋物線向右平移,顯然有MD+CB>MD+CB,因此不存在某個位置,使四邊形MBCD的周長最短,顯然應該將拋物線 y=x2向左平移.

由題知M4,6.設拋物線向左平移了n個單位,則點M和B的坐標分別為

M4n,6和B2n,

因為CD=2,因此將點B向左平移2個單位得Bn,

要使MD+CB最短,只要使MD+DB最短.點M關于x軸對稱點的坐標為M4n,6

設直線MB的解析式y(tǒng)=kx+bk0,點D應在直線MB上,

直線MB的解析式為y=,將Bn,代入,求得n=

故將拋物線向左平移個單位時,四邊形MBCD的周長最短,此時拋物線的解析式為y=x+2

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