Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別為（0，8）、（6，0），以AC為直徑作⊙O，交坐標軸于點B，點D是⊙O 上一點，且＝，過點D作DE⊥BC，垂足為E．

（1）求證：CD平分∠ACE；

（2）判斷直線ED與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）求線段CE的長．

Answer 1

【答案】（1）參見解析；（2）相切，理由參見解析；（3）2．

【解析】試題分析：（1）利用圓內(nèi)接四邊形對角互補，可得出∠BAD＋∠BCD＝180°，利用鄰補角性質(zhì)可得出：∠BCD＋∠DCE＝180°，于是∠DCE＝∠BAD，又因為＝，等弧所對的圓周角相等，所以∠BAD＝∠ACD，等量代換：∠DCE＝∠ACD，于是得出CD平分∠ACE；（2）連接OD．證明OD⊥DE即可，因為上題已經(jīng)得出∠DCE＝∠ACD，而又有OC=OD，∠ODC＝∠OCD，所以∠DCE＝∠ODC，所以OD∥BE，又因為DE⊥BC，所以OD⊥DE，進而得出結論；（3）延長DO交AB于點H，可得HO是△ABC的中位線，HO=3，因為∠ADC＝90°，O是AC的中點，所以OD＝AC＝5，HD＝3＋5＝8，而四邊形BEDH是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形），所以BE=HD=8，BC是6，從而求得CE值．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是⊙O內(nèi)接四邊形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°，又∵∠BCD＋∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠BAD，∵＝，∴∠BAD＝∠ACD，∴∠DCE＝∠ACD，∴CD平分∠ACE；（2）如圖：連接OD．

∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，又∵∠DCE=∠ACD，∴∠DCE=∠ODC，∴OD∥BE，∴∠ODE+∠DEC=180° ， 又∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°∴OD⊥DE，又∵OD為半徑，∴直線ED與⊙O相切；（3）如上圖：延長DO交AB于點H，∵OD∥BE，O是AC的中點，∴H是AB的中點， ∴HO是△ABC的中位線， ∴HO=BC=3，因為AC為直徑，∴∠ADC=90°，又∵O是AC的中點，∴OD=AC=×="5" ， ∴HD=3＋5=8，∵∠ABC=∠DEC=∠ODE=90°， ∴四邊形BEDH是矩形，∴BE=HD=8，∴CE=8－6=2．