【題目】若四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,則這條對角線叫做這個四邊形的巧分線,這個四邊形叫巧妙四邊形,若一個四邊形有兩條巧分線,則稱為絕妙四邊形

1)下列四邊形一定是巧妙四邊形的是   ;(填序號點①平行四邊形;②矩形;③菱形;④正方形.

初步應(yīng)用

2)在絕妙四邊形ABCD中,AC垂直平分BD,若∠BAD80°,則∠BCD   ;

深入研究

3)如圖,在梯形ABCD中,ADBC,ABADCD,∠B72°.求證:梯形ABCD是絕妙四邊形.

4)在巧妙四邊形ABCD中,ABADCD,∠A90°,AC是四邊形ABCD的巧分線,請直接寫出∠BCD的度數(shù).

【答案】(1)③④;(2140°80°160°;(3)見解析;(4)∠BCD的度數(shù)是45°135°90°

【解析】

1)由巧妙四邊形的定義,即可得到菱形和正方形是巧妙四邊形;

2)根據(jù)絕妙四邊形的定義可知:兩條對角線都是巧分線,分情況畫圖進行計算可得結(jié)論;

3)首先根據(jù)題意畫出圖形,然后分別證明兩條對角線分成的三角形是等腰三角形即可;

4)根據(jù)AC是四邊形ABCD的巧分線,可知:△ACD和△ABC是等腰三角形,△ABC是等腰三角形時分三種情況畫圖進行討論可得結(jié)論.

解:(1)∵菱形的四條邊相等,

∴連接對角線能得到兩個等腰三角形,

∴菱形是巧妙四邊形;

正方形是特殊的菱形,所以正方形也是巧妙四邊形;

故答案是:③④;

2)分三種情況,

①當(dāng)ACADAB時,如圖1,

AC垂直平分BD,

ABAD,BCCD,ACBD,

∴∠BAC=∠DAC,

∵∠BAD80°,

∴∠BAC=∠DAC40°

ACADAB,

∴∠ACD=∠ADC=∠ACB=∠ABC70°,

∴∠BCD2ACD140°

②當(dāng)ADCD,ABBC時,如圖2,

AC垂直平分BD

ABAD,BCCDACBD,

ABADCDBC,

∴四邊形ABCD是菱形,

∴∠BCD=∠BAD80°;

③在四邊形ABCD中,ACCDBC,如圖3,

∴∠CAD=∠ADC40°

∴∠ACD=∠ACB100°

∴∠BCD360°100°100°160°;

綜上,∠BCD140°80°160°;

故答案為:140°80°160°;

3)如圖4,連接ACBD,交于點O

在梯形ABCD中,ABCD,

∴∠ABC=∠DCB72°,

ADBC

∴∠BAD=∠ADC108°,

ABADCD

∴△ABD是等腰三角形,∠ABD=∠ADB36°,

∴∠DBC72°36°36°,∠BDC108°36°72°=∠DCB

∴△BDC也是等腰三角形,

∴對角線BD叫做這個四邊形ABCD巧分線

同理可得△ADC和△ACB也是等腰三角形,

∴對角線AC叫做這個四邊形ABCD巧分線

∴梯形ABCD是絕妙四邊形;

4)∵AC是四邊形ABCD的巧分線,

∴△ACD和△ABC是等腰三角形,

①當(dāng)ACBC時,如圖5,過CCHABH,過CCGAD,交AD的延長線于G,

∵∠HAD=∠AHC=∠G90°,

∴四邊形AHCG是矩形,

AHCGABCD,

∴∠CDG30°

∴∠ADC150°,

∴∠DAC=∠DCA15°,

∵∠DAB90°

∴∠CAB=∠B75°,

∴∠ACB30°

∴∠BCD30°+15°45°;

②當(dāng)ACAB時,如圖6,

ACABADCD,

∴△ACD是等邊三角形,

∴∠CAD=∠ACD60°,

∵∠BAD90°,

∴∠BAC30°

ABAC,

∴∠ACB75°,

∴∠BCD75°+60°135°;

③當(dāng)ABBC時,如圖7,此時∠BCD90°

綜上,∠BCD的度數(shù)是45°135°90°

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】將九年級部分男生擲實心球的成績進行整理,分成5個小組(x表示成績,單位:米).A組:5.25≤x<6.25;B組:6.25≤x<7.25;C組:7.25≤x<8.25;D組:8.25≤x<9.25;E組:9.25≤x<10.25,并繪制出扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖(不完整).規(guī)定x≥6.25為合格,x≥9.25為優(yōu)秀.

(1)這部分男生有多少人?其中成績合格的有多少人?

(2)這部分男生成績的中位數(shù)落在哪一組?扇形統(tǒng)計圖中D組對應(yīng)的圓心角是多少度?

(3)要從成績優(yōu)秀的學(xué)生中,隨機選出2人介紹經(jīng)驗,已知甲、乙兩位同學(xué)的成績均為優(yōu)秀,求他倆至少有1人被選中的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】矩形紙片ABCD,AD=4,AB=3,如果點E在邊BC上,將紙片沿AE折疊,使點B落在點F處,聯(lián)結(jié)FC,當(dāng)EFC是直角三角形時,那么BE的長為____________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,O是等邊ABC的外心,BO的延長線和⊙O相交于點D,連接DC,DAOA,OC

1)求證:BOC≌△CDA;

2)若AB=,求陰影部分的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某射擊教練為了了解隊員訓(xùn)練情況,從隊員中選取甲、乙兩名隊員進行射擊測試,相同條件下各射靶5次,成績統(tǒng)計如下:

命中環(huán)數(shù)

6

7

8

9

10

甲命中相應(yīng)環(huán)數(shù)的次數(shù)

0

1

3

1

0

乙命中相應(yīng)環(huán)數(shù)的次數(shù)

2

0

0

2

1

1)試通過計算說明甲、乙兩人的成績誰比較穩(wěn)定?

3)如果乙再射擊1次,命中8環(huán),那么乙射擊成績的方差會   .(填變大、變小不變

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可推得ABCD.理由如下:

∵∠1=∠2   ),

且∠1=∠4   

∴∠2=∠4(等量代換)

CEBF   

∴∠   =∠3   

又∵∠B=∠C(已知)

∴∠3=∠B   

ABCD   ).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】探索與證明:

1)如圖①,直線經(jīng)過正三角形的頂點,在直線上取點,,使得,.通過觀察或測量,猜想線段,之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并予以證明;

2)將(1)中的直線繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖②的位置,.通過觀察或測量,猜想線段,之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并予以證明.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC為銳角,點D為直線BC上一動點,以AD為直角邊且在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE,∠DAE90°,ADAE

1)如果ABAC,∠BAC90°.①當(dāng)點D在線段BC上時,如圖1,線段CE、BD的位置關(guān)系為___________,數(shù)量關(guān)系為___________

②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時,如圖2,①中的結(jié)論是否仍然成立,請說明理由.

2)如圖3,如果ABAC,∠BAC90°,點D在線段BC上運動。探究:當(dāng)∠ACB多少度時,CEBC?請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點A11),B﹣1,1),C﹣1,﹣2),D1,﹣2),把一根長為2017個單位長度且沒有彈性的細線(線的粗細忽略不計)的一端固定在A處,并按ABCDA的規(guī)律緊繞在四邊形ABCD的邊上,則細線的另一端所在位置的點的坐標是(。

A. ﹣1,﹣2 B. ―1,1

C. -1-1 D. 1,―2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案