【題目】在正方形ABCD中,BD為對角線,點P從A出發(fā),沿射線AB運動,連接PD,過點D作DE⊥PD,交直線BC于點E.
(1)當(dāng)點P在線段AB上時(如圖1),求證:BP+CE=BD;
(2)當(dāng)點P在線段AB的延長線上時(如圖2),猜想線段BP、CE、BD之間滿足的關(guān)系式,并加以證明;
(3)若直線PE分別交直線BD、CD于點M、N,PM=3,EN=4,求PD的長.
【答案】(1)證明見解析(2)CE﹣BP=BD,理由見解析(3)3或6
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)已知和圖形證明△PAD≌△ECD,得到AP=CE,根據(jù)AB=BD,得到答案;
(2)與(1)的方法類似,求出結(jié)論;
(3)分P在線段AB上和P在AB延長線上兩種情況進(jìn)行討論,根據(jù)三角形全等和勾股定理證明結(jié)論.
證明:(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCE=90°,AD=CD,
∵DE⊥PD,
∴∠ADC=∠PDE=90°,
∴∠ADP=90°﹣∠PDC=∠CDE,
∴△PAD≌△ECD,
∴AP=CE,
∴BP+CE=BP+AP=AB=BD;
(2)CE﹣BP=BD;
理由:△PAD≌△ECD,
∴CE=AP,
∴CE﹣BP=AP﹣BP=AB=BD;
(3)①當(dāng)P在線段AB上時,
如圖1所示,在BC上取一點G使得BG=BP,連接MG、NG,
∵△APD≌△CED,
∵AP=CE,PD=ED,
∴△PED是等腰直角三角形,
∴AB=BC=AP+BP=BG+CG,
∴CG=CE,
∴可證△NCG≌△NCE,
∴NG=NE,∠NGC=∠NEC,
∵∠PBM=∠GBM=45°,BP=BG,BM=BM,
∴△BPM≌△BGM
∴PM=GM,∠MGB=∠MPB,
又∠NEC+∠MPB=90°,
∴∠NGC+∠MGB=90°,
∴∠MGN=90°,
∴MN==5,
∴PE=PM+MN+EN=3+5+4=12,
∴PD=PE=6;
②當(dāng)P在AB延長線上時,
如圖2所示,延長CB至G,使得CG=CE,連接MG、NG,
∵AP=CE,
∴CE﹣BC=CG﹣BC=AP﹣AB=BP=BG,
同①可證△△BMG≌△BMP,△CNG≌△CNE,
∴PM=GM,GN=EN,∠BGM=∠BPM=90°+∠CEN=90°+CGN,
∴∠CGN=∠BGM﹣90°=∠BGM﹣∠MGN,
∴∠MGN=90°,
∴MN==5,
∴PN=MN﹣PM=5﹣3=2,
∴PE=PN+EN=2+4=6,
∴PD=PE=3,
∴PD的長為3或6.
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【題目】下列圖形:①等腰三角形;②平行四邊形;③矩形;④菱形;⑤正方形.用兩個全等但不是等腰的直角三角形,一定能拼成的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③⑤ D.①②③④⑤
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【題目】一個三角形的兩邊長分別為4cm和7cm,第三邊長是一元二次方程x2﹣10x+21=0的實數(shù)根,則三角形的周長是 cm.
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【題目】如圖,已知點A從點(1,0)出發(fā),以1個單位長度/秒的速度沿x軸向正方向運動,以O(shè)、A為頂點作菱形OABC,使點B、C在第一象限內(nèi),且∠AOC=60°,點P的坐標(biāo)為(0,3),設(shè)點A運動了t秒,求:
(1)點C的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示);
(2)點A在運動過程中,當(dāng)t為何值時,使得△OCP為等腰三角形?
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【題目】若a、b互為相反數(shù),c、d互為倒數(shù),x的相反數(shù)是它本身,則(a+b)2+cd+x(a+b+c+d)= ___________.
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【題目】下列命題正確的是( )
A.若兩弦相等,則它們所對的弧相等
B.若弦長等于半徑,則弦所對的劣弧的度數(shù)為60°
C.若兩弧不等,則大弧所對的圓心角較大
D.若兩弧的度數(shù)相等,則兩條弧是等弧
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【題目】在△ABC和△DEF中,下列各組條件中,不能判定兩個三角形全等的是( )
A. AB = DE,∠B =∠E,∠C =∠F B. AC = DF,BC = EF,∠A =∠D
C. AB = EF,∠A =∠E,∠B =∠F D. ∠A =∠F,∠B =∠E,BC = DE
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