【題目】如圖所示,AB是⊙O的直徑,AC切⊙O于點(diǎn)A,且AC=AB,CO交⊙O于點(diǎn)P,CO的延長線交⊙O于點(diǎn)F,BP的延長線交AC于點(diǎn)E,連接AP、AF.
求證:
(1)AF∥BE;
(2)△ACP∽△FCA;
(3)CP=AE.
【答案】
(1)證明:∵∠B、∠F同對劣弧AP,
∴∠B=∠F,
∵BO=PO,
∴∠B=∠BPO,
∴∠F=∠BPF,
∴AF∥BE.
(2)證明:∵AC切⊙O于點(diǎn)A,AB是⊙O的直徑,
∴∠BAC=90°.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠BPA=90°,
∴∠EAP=90°﹣∠BEA,∠B=90°﹣∠BEA,
∴∠EAP=∠B=∠F,
又∠C=∠C,
∴△ACP∽△FCA.
(3)證明:∵∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP,∠C=∠C.
∴△PCE∽△ACP
∴ ,
∵∠EAP=∠B,∠EPA=∠APB=90°,
∴△EAP∽△ABP.
∴ ,
又AC=AB,
∴ ,
于是有 .
∴CP=AE.
【解析】(1)由∠B、∠F同對劣弧AP,可知兩角的關(guān)系,又因BO=PO,△BOP是等腰三角形,求出∠F=∠BPF,得出結(jié)論;(2)AC切⊙O于點(diǎn)A,AB是⊙O的直徑,證明∠EAP=∠B,故△ACP∽△FCA;(3)由∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP,∠C=∠C,證得三角形相似,列出比例式,可得到等式成立.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓周角定理的相關(guān)知識,掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半,以及對切線的性質(zhì)定理的理解,了解切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.
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【題目】三角形中,一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的兩倍時,我們稱此三角形是“特征三角形”,其中α為“特征角”.如果一個“特征三角形”的“特征角”為102°,那么這個“特征三角形”的最小內(nèi)角為___________ .
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【題目】下列事件中,是必然事件的是( 。
A.足球運(yùn)動員射門一次,球射進(jìn)球門B.隨意翻開一本書,這頁的頁碼是奇數(shù)
C.經(jīng)過有交通信號燈的路口,遇到綠燈D.任意畫一個三角形,其內(nèi)角和是180°
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【題目】如圖,己知△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC= .動點(diǎn)D在邊AC上,以BD為邊作等邊△BDE(點(diǎn)E、A在BD的同側(cè)).在點(diǎn)D從點(diǎn)A移動至點(diǎn)C的過程中,點(diǎn)E移動的路線長為 .
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【題目】某校在開展 “校園獻(xiàn)愛心”活動中,準(zhǔn)備向南部山區(qū)學(xué)校捐贈男、女兩種款式的書包.已知男款書包的單價50元/個,女款書包的單價70元/個.
(1)原計劃募捐3400元,購買兩種款式的書包共60個,那么這兩種款式的書包各買多少個?
(2)在捐款活動中,由于學(xué)生捐款的積極性高漲,實(shí)際共捐款4800元,如果至少購買兩種款式的書包共80個,那么女款書包最多能買多少個?
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【題目】如圖,直線AE與CD相交于點(diǎn)B,射線BF平分∠ABC,射線BG在∠ABD內(nèi),
(1)若∠DBE的補(bǔ)角是它的余角的3倍,求∠DBE的度數(shù);
(2)在(1)的件下,若∠DBG=∠ABG﹣33°,求∠ABG的度數(shù);
(3)若∠FBG=100°,求∠ABG和∠DBG的度數(shù)的差.
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【題目】如圖,正方形OABC的面積為9,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B在函數(shù)y= (k>0,x>0)的圖象上點(diǎn)P(m,n)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作x軸y軸的垂線,垂足分別為E,F(xiàn).并設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分的面積為S.
(1)求k的值;
(2)當(dāng)S= 時,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)寫出S關(guān)于m的關(guān)系式.
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