Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y＝kx﹣2k（k＜0）的與y軸交于點A，與x軸交于點B．

（1）如圖1，求點B的坐標；

（2）如圖2，第一象限內的點C在經過B點的直線y＝-x+b上，CD⊥y軸于點D，連接BD，若S△ABD＝2k+2，求C點的坐標（用含k的式子表示）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接OC，交直線AB于點E，若3∠ABD﹣∠BCO＝45°，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）B(2，0)；（2）C(2﹣2k，2)；（3）E(，)

【解析】

（1）令y＝kx﹣2k＝0，解方程即求得點B坐標．

（2）求點A坐標（用含k的式子），把點B坐標代入直線y＝-x+b求得b＝．由求得點D縱坐標為2，所以點C縱坐標也為2，把y＝2代入直線y＝-x+，即求得點C橫坐標．

（3）如圖，過點C作CH⊥x軸于點H，在CD上取一點J，使得AJ＝CJ，連接AJ，AC．首先證明∠AJD＝∠COD，根據tan∠AJD＝tan∠COD，構建方程求出k，再求出直線OC，AB的解析式，構建方程組確定交點E的坐標即可．

解：（1）∵直線y＝kx﹣2k中，kx﹣2k＝0時，解得：x＝2

∴B（2，0）

（2）∵x＝0時，y＝kx﹣2k＝﹣2k

∴A（0，﹣2k）

∵點B（2，0）在直線y＝-x+b上

∴﹣+b＝0

∴b＝，直線解析式為y＝-x+

∵

∴

∵CD⊥y軸于點D

∴

∵點C在直線y＝-x+上

∴-x+＝2，解得x＝2﹣2k

∴C（2﹣2k，2）

（3）如圖，過點C作CH⊥x軸于點H，在CD上取一點J，使得AJ＝CJ，連接AJ，AC．

由（2）可知：CH＝OB＝2，∠BOA＝∠CHB＝90°，BH＝OA＝﹣2k，

∴△CHB≌△BOA（SAS），

∴BC＝BA，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝45°，

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∴A，D，C，B四點共圓，

∴∠ABD＝∠ACD，

∵3∠ABD﹣∠BCO＝45°，∠BCO＝45°﹣∠ACO，

∴3∠ACD﹣（45°﹣∠ACO）＝45°，

∴3∠ACD+∠AOC＝90°，

∵∠DOC+∠ACD+∠ACO＝90°，

∴∠DOC＝2∠ACD，

∵JA＝JC，

∴∠JCA＝∠JAC，

∵∠AJD＝∠JAC+∠JCA，

∴∠AJD＝2∠DCA＝∠COD，

設AJ＝JC＝x，在Rt△ADJ中，∵AJ2＝AD2+DJ2，

∴，

解得，

∴，

∵∠AJD＝∠COD，

∴tan∠AJD＝tan∠COD，

∴ ，

解得，

∴A（0，），C（，2），

∴直線OC的解析式為y＝x，

直線AB的解析式為，

由 ，解得 ，

∴E（，）．