Question

【題目】已知：如圖在菱形ABCD中，AB=4，∠DAB=30°，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接ME并廷長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N連接MD，AN．

（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；（2）當(dāng)AM為何值時(shí)，四邊形AMDN是矩形并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），四邊形AMDN是矩形，見解析.

【解析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得ND∥AM，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根據(jù)中點(diǎn)的定義求出DE=AE，然后利用“角角邊”證明△NDE和△MAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到ND=MA，然后利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DM⊥AB，結(jié)合∠DAB=30°，由直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解答．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴ND∥AM．

∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME．

∵點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，

∴DE=AE．

在△NDE和△MAE中，

，

∴△NDE≌△MAE（AAS）．

∴ND=MA．

∴四邊形AMDN是平行四邊形；

（2）解：當(dāng)AM=2時(shí)，四邊形AMDN是矩形．理由如下：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB=2，

∵平行四邊形AMDN是矩形，

∴∠AMD=90°．

∵∠DAB=30°，

∴MD=AD=AB=2．

在直角△AMD中，．