【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+cx軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),作直線BC.動(dòng)點(diǎn)Px軸上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)PPMx軸,交拋物線于點(diǎn)M,交直線BC于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

(1)求拋物線的解析式和直線BC的解析式;

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),若CMN是以MN為腰的等腰直角三角形時(shí),求m的值;

(3)當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以OC為一邊的平行四邊形時(shí),求m的值.

【答案】(1) y=﹣x+3;(2)m=2;(3)

【解析】試題分析

(1)把點(diǎn)A(﹣1,0),點(diǎn)C(0,3)代入拋物線y=﹣x2+bx+c列出方程組求得b、c的值即可得到拋物線的解析式,在所得拋物線的解析式中,由y=0可得關(guān)于x的一元二次方程,解方程可求得B的坐標(biāo);有B、C的坐標(biāo)用“待定系數(shù)法”可求得直線BC的解析式;

(2)由△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形可得,CM∥x軸,由點(diǎn)C的坐標(biāo)(0,3)可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3,y=3代入拋物線的解析式解得x的值即可得到m的值;

(3)由已知把M、N的坐標(biāo)用含“m”的代數(shù)式表達(dá)出來(lái),進(jìn)一步表達(dá)出MN的長(zhǎng),根據(jù)題意可得MN=OC=3即可列出關(guān)于“m”的方程,解方程即可求得m的值.

試題解析

(1)把點(diǎn)A(﹣1,0),點(diǎn)C(0,3)代入拋物線y=﹣x2+bx+c,得,解得 ,∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;

令﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)(3,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,把C(0,3),B的坐標(biāo)(3,0)代入,得,解得: ,∴直線BC的解析式為y=﹣x+3.

(2)∵△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形,

CMx軸,即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3,

y=3代入y=﹣x2+2x+3,得x=02,

點(diǎn)M不能與點(diǎn)C重合

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m=2.

(3)∵拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,P的橫坐標(biāo)為m

M(m,﹣m2+2m+3),

∵直線BC的解析式為y=﹣x+3.

N(m,﹣m+3),

∵以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以OC為一邊的平行四邊形,

MN=OC=3,

﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=3,化簡(jiǎn)得m2﹣3m+3=0,無(wú)解,

或(﹣m+3)﹣(﹣m2+2m+3)=3,化簡(jiǎn)得m2﹣3m﹣3=0,

解得m=,

∴當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以OC為一邊的平行四邊形時(shí),m的值為

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捐款人數(shù)分組統(tǒng)計(jì)表

組別

捐款額x/

人數(shù)

A

1≤x<10

a

B

10≤x<20

100

C

20≤x<30

D

30≤x<40

E

x≥40

請(qǐng)結(jié)合以上信息解答下列問(wèn)題:

(1)a=____,本次調(diào)查的樣本容量是______;

(2)先求出C組的人數(shù),再補(bǔ)全捐款人數(shù)分組統(tǒng)計(jì)圖①

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