【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,頂點M關于x軸的對稱點是M′.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若直線AM′與此拋物線的另一個交點為C,求△CAB的面積;
(3)是否存在過A,B兩點的拋物線,其頂點P關于x軸的對稱點為Q,使得四邊形APBQ為正方形?若存在,求出此拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:將A、B點坐標代入函數(shù)解析式,得 ,
解得 ,
拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3
(2)解:將拋物線的解析式化為頂點式,得
y=(x﹣1)2﹣4,
M點的坐標為(1,﹣4),
M′點的坐標為(1,4),
設AM′的解析式為y=kx+b,
將A、M′點的坐標代入,得
,
解得 ,
AM′的解析式為y=2x+2,
聯(lián)立AM′與拋物線,得
,
解得 ,
C點坐標為(5,12).
S△ABC= ×4×12=24
(3)解:存在過A,B兩點的拋物線,其頂點P關于x軸的對稱點為Q,使得四邊形APBQ為正方形,
由ABPQ是正方形,A(﹣1,0)B(3,0),得
P(1,﹣2),Q(1,2),或P(1,2),Q(1,﹣2),
①當頂點P(1,﹣2)時,設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2﹣2,
將A點坐標代入函數(shù)解析式,得
a(﹣1﹣1)2﹣2=0,
解得a= ,
拋物線的解析式為y= (x﹣1)2﹣2,
②當P(1,2)時,設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+2,將
A點坐標代入函數(shù)解析式,得
a(﹣1﹣1)2+2=0,
解得a=﹣ ,
拋物線的解析式為y=﹣ (x﹣1)2+2,
綜上所述:y= (x﹣1)2﹣2或y=﹣ (x﹣1)2+2,使得四邊形APBQ為正方形.
【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法,將A、B點坐標代入函數(shù)解析式,即可求解。
(2)先求出頂點坐標,根據(jù)軸對稱的性質,可求得點M′的坐標,再求出直線AM′的解析式,再將兩函數(shù)解析式聯(lián)立,建立方程組,求解即可求出點C的坐標,然后求出△ABC的面積。
(3)根據(jù)正方形的性質,求得P、Q兩點的坐標,根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式。
【考點精析】掌握確定一次函數(shù)的表達式和正方形的性質是解答本題的根本,需要知道確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣1(a是常數(shù),a≠0),下列結論正確的是( )
A.當a=1時,函數(shù)圖象過點(﹣1,1)
B.當a=﹣2時,函數(shù)圖象與x軸沒有交點
C.若a>0,則當x≥1時,y隨x的增大而減小
D.不論a為何值,函數(shù)圖象必經過(2,﹣1)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【發(fā)現(xiàn)】:如圖1,在正三角形ABC中,在AB,AC邊上分別取點M,N,BM=AN,連接BN,CM,相交于點O,求∠α
易得:△ABN≌△BCN,則∠1=∠2
∵∠α是△BOC的外角,∴∠α=∠2+∠3
∴∠α=∠1+∠3=∠ABC=60°
【推廣】:在正n邊形中,對相鄰的兩邊實施同樣的操作…
(1)如圖2,在正四邊形ABCD中,在AB,AD邊上分別取點M,N,連接BN,CM,可確定∠α=°;
(2)如圖3,在正五邊形ABCDE中,在AB,AD邊上分別取點M,N,連接BN,CM,可確定∠α=°;
(3)判斷:∠α可以等于160°嗎?如果可以,求出對應的邊數(shù)n,若不可以,說明理由.
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【題目】如圖,在6×6的正方形網格中,每個小正方形的邊長為1,點A、B、C、D、E、F、M、N、P均為格點(格點是指每個小正方形的頂點).
(1)利用圖①中的網格,過P點畫直線MN的平行線和垂線.
(2)把圖②網格中的三條線段AB、CD、EF通過平移使之首尾順次相接組成一個三角形(在圖②中畫出三角形).
(3)第(2)小題中線段AB、CD、EF首尾順次相接組成一個三角形的面積是______.
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【題目】某網店3月份經營一種熱銷商品,每件成本20元,發(fā)現(xiàn)三周內售價在持續(xù)提升,銷售單價P(元/件)與時間t(天)之間的函數(shù)關系為P=30+ t(其中1≤t≤21,t為整數(shù)),且其日銷售量y(件)與時間t(天)的關系如下表
時間t(天) | 1 | 5 | 9 | 13 | 17 | 21 |
日銷售量y(件) | 118 | 110 | 102 | 94 | 86 | 78 |
(1)已知y與t之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關系,請直接寫出y(件)與時間t(天)函數(shù)關系式;
(2)在這三周的銷售中,第幾天的銷售利潤最大?最大日銷售利潤為多少?
(3)在實際銷售的21天中,該網店每銷售一件商品就捐贈a元利潤(a<8)給“精準扶貧”的對象,通過銷售記錄發(fā)現(xiàn),這21天中,每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t(天)的增大而增大,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,等邊△ABC的邊長是2,D、E分別為AB、AC的中點,延長BC至點F,使CF=BC,連接CD和EF.
(1)求證:DE=CF;
(2)求EF的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,D,E,F(xiàn)分別是BC,AD,CE邊上的中點,且S△ABC=16 cm2,則S△BEF=_________.
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【題目】如圖,已知,A、O、B在同一條直線上,∠AOE=∠COD,∠EOD=30°.
(1)若∠AOE=88°30′,求∠BOC的度數(shù);
(2)若射線OC平分∠EOB,求∠BOC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E是邊AB上兩點,且CE所在直線垂直平分線段AD,CD平分∠BCE,AC=5cm,則BD的長為( )
A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm
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