【題目】如圖,已知拋物線y=ax﹣2ax+3(a≠0),與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,若OB=3OA.
(1)求拋物線的解析式;
(2)連接BC,點P、點Q是第一象限的拋物線上不同的兩點,是否存在這樣的P點,使得恒成立?若存在,請求P點的坐標,若不存在,請說明理由;
(3)如圖2,D為拋物線的對稱軸與x軸的交點,M為線段OC上一點,過點M作直線l交拋物線于E、F兩點,連接AE、OE、BF、DF若△AEO∽△DFB,求M點的坐標.
【答案】(1)y=﹣x+2x+3;(2)P;(3)(0, ).
【解析】試題分析:(1)利用韋達定理求二次函數(shù)解析式.(2)聯(lián)立一次函數(shù)和二次函數(shù)求解.(3)設(shè)EF(帶k)的函數(shù),與一元二次方程聯(lián)立,韋達定理,設(shè)而不求,利用相似求出k的關(guān)系,求出k的值,也就是求出EF函數(shù)的表達式,令x=0,求出M坐標.
試題解析:
解:⑴設(shè)A(x1,0),B(x2,0),
則x1、x2是關(guān)于x的方程ax﹣2ax+3=0的兩根,
∴x1+x2=2,x1·x2=,
∵OB=3OA,∴x2=﹣3x1,∴x1=﹣1,x2=3,∴a=﹣1,
∴拋物線的解析式為y=﹣x+2x+3.
⑵∵恒成立,∴最大,∵BC長不變,∴只需BC邊上的高最大,
∴點P是直線BC平移后與拋物線得到的唯一公共點,
∵B(3,0)、C(0,3),∴BC的解析式為y=﹣x+3,
∴設(shè)BC平移后的直線為y=﹣x+b,由,
消去y,得到x﹣3x+b﹣3=0,∵△=0,∴x1=x2=,
在y=﹣x+2x+3中,當x=時,y=,∴P.
⑶延長FE交x軸于N, D(1,0),
∵△AEO∽△DFB,∴∠EAO=∠FDB,∠EOA=∠FBD,
∴EA∥FD,EO∥FB,∴ ,
設(shè)N(n,0),∴ ,解得:n=﹣3,∴N(﹣3,0),
∴,∴……①,
設(shè)EF的解析式為y=kx+3k,由,
消去y整理,得:x+(k﹣2)x+3k﹣3=0,
∴……②,……③,
由①②得: , ,
代入③,得,∴或 (舍),
∴直線EF為,
∴M(0, ).
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【題目】根據(jù)條件求二次函數(shù)的解析式:
(1)拋物線的頂點坐標為(﹣1,﹣1),且與y軸交點的縱坐標為﹣3
(2)拋物線在x軸上截得的線段長為4,且頂點坐標是(3,﹣2).
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【題目】如圖①,平面直角坐標系中,O為原點,點A坐標為(﹣4,0),AB∥y軸,點C在y軸上,一次函數(shù)y=x+3的圖象經(jīng)過點B、C.
(1)點C的坐標為_____,點B的坐標為_____;
(2)如圖②,直線l經(jīng)過點C,且與直線AB交于點M,O'與O關(guān)于直線l對稱,連接CO'并延長,交射線AB于點D.
①求證:△CMD是等腰三角形;
②當CD=5時,求直線l的函數(shù)表達式.
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【題目】已知正方形ABCD中,E為對角線BD上一點,過E點作EF⊥BD交BC于F,連接DF,G為DF中點,連接EG,CG.
(1)求證:EG=CG;
(2)將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②所示,取DF中點G,連接EG,CG.
問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;
(3)將圖①中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度,如圖③所示,再連接相應(yīng)的線段,問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?通過觀察你還能得出什么結(jié)論(均不要求證明).
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【題目】如圖,AB⊥BC,DC⊥BC,AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC,以下結(jié)論:①∠AED=90°;②點 E 是 BC 的中點;③DE=BE;④AD=AB+CD;其中正確的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
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【題目】如圖,在□ABCD中,E是AD的中點,延長CB到點F,使,連接BE、AF.
(1)完成畫圖并證明四邊形AFBE是平行四邊形;
(2)若AB=6,AD=8,∠C=60°,求BE的長.
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【題目】在一個不透明的袋子中裝有 4 個紅球和 6 個黃球,這些球除顏色外都相同,將袋子中的球充 分搖勻后,隨機摸出一球.
(1)分別求摸出紅球和摸出黃球的概率
(2)為了使摸出兩種球的概率相同,再放進去 8 個同樣的紅球或黃球,那么這 8 個球中紅球和 黃球的數(shù)量分別是多少?
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【題目】如圖是甲、乙兩人從同一地點出發(fā)后,路程隨時間變化的圖象.
(1)此變化過程中,___________ 是自變量,___________ 是因變量.
(2)甲的速度 ___________ 乙的速度.(填“大于”、“等于”、或“小于”)
(3)甲與乙 ___________ 時相遇.
(4)甲比乙先走 ___________ 小時.
(5)9時甲在乙的 ___________ (填“前面”、“后面”、“相同位置”).
(6)路程為150km,甲行駛了___________ 小時,乙行駛了___________ 小時.
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【題目】某縣為了落實中央的“強基惠民工程”,計劃將某村的居民自來水管道進行改造.該工程若由甲隊單獨施工恰好在規(guī)定時間內(nèi)完成;若乙隊單獨施工,則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的1.5倍.如果由甲、乙隊先合做15天,那么余下的工程由甲隊單獨完成還需5天.
(1)這項工程的規(guī)定時間是多少天?
(2)已知甲隊每天的施工費用為6500元,乙隊每天的施工費用為3500元.為了縮短工期以減少對居民用水的影響,工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊合做來完成.則該工程施工費用是多少?
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