Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2﹣4ax+b經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將△OAC沿AC翻折得到△ACE，直線AE交拋物線于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)M為直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），連OM，將OM繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ON，是否存在這樣的點(diǎn)N，使點(diǎn)N恰好在拋物線上？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3．（2）點(diǎn)P（）；（3）存在符合條件的N點(diǎn)，且坐標(biāo)為N（2，1）或（5，﹣8）．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的解析式，可得拋物線的對稱軸方程，進(jìn)而可根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，已知OB=OC，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式．

（2）點(diǎn)P為直線AE和拋物線的交點(diǎn)，欲求點(diǎn)P，必須先求出直線AE的解析式；設(shè)直線AE與y軸的交點(diǎn)為F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得到FE=3OF，設(shè)OF=x，則EF=3x，AF=3x-1，進(jìn)而可在Rt△FOA中求出x的值，也就能求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）此題應(yīng)分三種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時，可設(shè)M（a，a-3），由于ON是由OM旋轉(zhuǎn)90°而得，因此△OMN是等腰直角三角形，分別過M、N作MG、NH垂直于x軸，即可證得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；

②當(dāng)點(diǎn)M在第三象限，④點(diǎn)M在第四象限時，解法同①．

（1）由題意知：拋物線的對稱軸為：x=2，則B（3，0）；

已知OB=OC=3，則C（0，-3）；

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），依題意有：

a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；

故拋物線的解析式為：y=-x2+4x-3．

（2）設(shè)AE交y軸于點(diǎn)F；

易證得△FOA∽△FEC，有，

設(shè)OF＝x，則EF＝3x，

所以FA＝3x﹣1；

在Rt△FOA中，由勾股定理得：

（3x﹣1）2＝x2+1，

解得x＝；

即OF＝，F（0，）；

求得直線AE為y＝﹣x+，

聯(lián)立拋物線的解析式得：，

解得，；

故點(diǎn)P（，）．

（3）∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直線BC：y＝x﹣3；

設(shè)點(diǎn)M（a，a﹣3），則：

①當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時，OG＝a，MG＝a﹣3；

過M作MG⊥x軸于G，過N作NH⊥x軸于H；

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠MON＝90°，OM＝ON，

則可證得△MOG≌△NOH，得：

OG＝NH＝a，OH＝MG＝a﹣3，

故N（a﹣3，﹣a），

將其代入拋物線的解析式中，得：

﹣（a﹣3）2+4（a﹣3）﹣3＝﹣a，

整理得：a2﹣11a+24＝0，

a＝3（舍去），a＝8；

故M（8，5），N（5，﹣8）．

②當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時，OG＝﹣a，MG＝3﹣a；

同①可得：MG＝OH＝3﹣a，OG＝NH＝﹣a，則N（3﹣a，a），代入拋物線的解析式可得：

﹣（3﹣a）2+4（3﹣a）﹣3＝a，

整理得：a2﹣a＝0，故a＝0，a＝1；

由于點(diǎn)M在第三象限，

所以a＜0，

故a＝0、a＝1均不合題意，此種情況不成立；

③當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時，OG＝a，MG＝3﹣a；

同①得：N（3﹣a，a），在②中已經(jīng)求得此時a＝0（舍去），a＝1；

故M（1，﹣2），N（2，1）；

綜上可知：存在符合條件的N點(diǎn)，且坐標(biāo)為N（2，1）或（5，﹣8）．