Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E， F分別在BC， BD上，且BE=1，過(guò)三點(diǎn)C， E， F作⊙O交CD于點(diǎn)G.

(1)證明∠EFG =90°.

(2)如圖2，連結(jié)AF，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A，F， G三點(diǎn)共線時(shí)，求的面積.

(3)在點(diǎn)F整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

①當(dāng)EF， FG， CG中滿足某兩條線段相等，求所有滿足條件的BF的長(zhǎng).

②連接EG，若時(shí)，求⊙O的半徑(請(qǐng)直接寫出答案) .

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3；（3）①， 2，；②.

【解析】

（1）連結(jié)EG，根據(jù)∠C=90°可得EG為⊙O的直徑，進(jìn)而可得結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，設(shè)MF=MD=a，求出EN=3-a，然后證明△AMF≌△FNE，得到MF=EN，求出a的值即可；

（3）①分情況討論：當(dāng)EF=CG 時(shí)；當(dāng)EF=FG時(shí)；當(dāng)FG=CG時(shí)，分別作出圖形求出BF即可；②連接EG，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)G作GI⊥BD于I，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BD、BH、HE的長(zhǎng)，然后證明△HEF∽△IFG，利用相似三角形的性質(zhì)求出IF，進(jìn)而得到HF的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出EF和EG即可解決問題.

解：（1）連結(jié)EG，

∵∠C=90°，

∴EG為⊙O的直徑，

∴∠EFG＝90°；

（2）過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，

由（1）得：∠AFE=∠EFG =90°，∠ADF=45°，

∴設(shè) MF=MD=a，則MD=NC=a，

∴EN=4-1-a=3-a，

∵AD=MN，

∴AM=FN，

∵∠NFE+∠AFM=∠AFM+∠MAF，

∴∠NFE=∠MAF，

又∵∠AMF=∠FNE，

∴△AMF≌△FNE，

∴MF=EN，即a=3-a，

∴a=1.5，

∴；

（3）①當(dāng)EF=CG 時(shí)，

易得EF∥CG，

∴∠BEF =∠C=90°，

∴BE=EF=1，

∴BF=；

當(dāng)EF=FG時(shí)，

∵∠EFG=90°，

∴∠ECF=∠EGF=45°，且∠ACE=45°，

∴點(diǎn)A，C，F共線，

∴F為對(duì)角線的交點(diǎn)，

∴BF=BD= 2；

當(dāng)FG=CG時(shí)，

則EF=CE，即EF=CE=4-1=3，設(shè)FN=x，

由（2）可知AM=BN=x，

∴EN=x-1，

在Rt△ENF中，，即，

解得：，（不符合題意，舍去），

∴，

∴綜上所述，所有滿足條件的BF長(zhǎng)為，2，；

②如圖，連接EG，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)G作GI⊥BD于I，

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，BE=1，

∴BD=，BH=HE=，

∵∠EFG＝∠EHF＝∠GIF＝90°，

∴∠HFE+∠GFI＝90°，∠HFE+∠HEF＝90°，

∴∠GFI＝∠HEF，

∴△HEF∽△IFG，

∴，

∴，ID=IG=2HF，

∴BD=BH+HF+IF+ID=，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵EG為直徑，

∴⊙O的半徑為.