【題目】(1) 知識儲備
①如圖 1,已知點(diǎn) P 為等邊△ABC 外接圓的弧BC 上任意一點(diǎn).求證:PB+PC= PA.
②定義:在△ABC 所在平面上存在一點(diǎn) P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小,則稱點(diǎn) P 為△ABC
的費(fèi)馬點(diǎn),此時 PA+PB+PC 的值為△ABC 的費(fèi)馬距離.
(2)知識遷移
①我們有如下探尋△ABC (其中∠A,∠B,∠C 均小于 120°)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法:
如圖 2,在△ABC 的外部以 BC 為邊長作等邊△BCD 及其外接圓,根據(jù)(1)的結(jié)論,易知線段____的長度即為△ABC 的費(fèi)馬距離.
②在圖 3 中,用不同于圖 2 的方法作出△ABC 的費(fèi)馬點(diǎn) P(要求尺規(guī)作圖).
(3)知識應(yīng)用
①判斷題(正確的打√,錯誤的打×):
ⅰ.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(__________);
ⅱ.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部(__________).
②已知正方形 ABCD,P 是正方形內(nèi)部一點(diǎn),且 PA+PB+PC 的最小值為,求正方形 ABCD 的
邊長.
【答案】 AD √ ×
【解析】分析:(1)根據(jù)已知首先能得到△PCE為等邊三角形,進(jìn)而得出△ACE≌△BPC,即可得證;
(2)①仔細(xì)閱讀新知的概念,結(jié)合圖形特點(diǎn),直接有結(jié)論判斷即可;
②根據(jù)尺規(guī)作圖,作等邊三角形即可求得費(fèi)馬點(diǎn);
(3)①ⅰ.根據(jù)作圖可知費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個,ⅱ.由圖1和圖2,可知任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)不一定都在三角形的內(nèi)部;
②將△ABP沿點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△A1BP1,過A1作A1H⊥BC,交CB的延長線于H,連接P1P,根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì),得到△P1PB是正三角形,進(jìn)而得出∠A1BH=30°,然后由正方形的性質(zhì)和30°角直角三角形的性質(zhì),根據(jù)勾股定理求出正方形的邊長.
詳解:(1)①證明:在PA上取一點(diǎn)E,使PE=PC,連接CE,
∵正三角形ABC
∴∠APC=∠ABC=60°
又∵PE=PC,∴△PEC是正三角形
∴CE=CP ∠ACB=∠ECP=60°
∴∠1=∠2
又∵∠3=∠4 BC=AC
∴△ACE≌△BCP (ASA)
∴AE=BP
即:BP+CP=AP.
(2)①線段 AD 的長度即為△ABC的費(fèi)馬距離.
②過AB和AC分別向外作等邊三角形,連接CD,BE,
交點(diǎn)即為P0.
(3)①ⅰ.( √ ) ②ⅱ.( × )
②解:將△ABP沿點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△A1BP1,
過A1作A1H⊥BC,交CB的延長線于H,連接P1P,
易得:A1B=AB,PB=P1B,PA=P1 A1,∠P1BP=∠A1BA=60°
∵PB=P1B ∠P1BP=60°
∴△P1PB是正三角形
∴PP1=PB
∵PA+PB+PC的最小值為
∴P1A1+PP1+PC的最小值為
∴A1,P1,P,C在同一直線上,即A1C=
設(shè)正方形的邊長為2x
∵∠A1BA=60° ∠CBA=90°
∴∠1=30°
在Rt△A1HB中,A1B=AB=2x,∠1=30°
得:A1H=x,BH=
在Rt△A1HC中,由勾股定理得:
解得:x1=1 x2=1(舍去)
∴正方形ABCD的邊長為2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=﹣xm﹣1+bx﹣3(m,b為常數(shù))是二次函數(shù),其圖象的對稱軸為直線x=1
(I)求該二次函教的解析式;
(Ⅱ)當(dāng)﹣2≤x≤0時,求該二次函數(shù)的函數(shù)值y的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在梯形ABCD中,AB∥CD,CE平分∠BCD,CE⊥AD于E,DE=2AE.若△CED面積為1,則四邊形ABCE的面積為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠ACB為銳角.點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn),連接AD,將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連結(jié)EC.如果AB=AC,∠BAC=90°.
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(與點(diǎn)B不重合),如圖1,請你判斷線段CE、BD之間的位置和數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)論);
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時,請你在圖2畫出圖形,判斷①中的結(jié)論是否仍然成立,并證明你的判斷.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣4,3)、B(﹣3,1)、C(﹣1,3).
(1)請按下列要求畫圖:
①將△ABC先向右平移4個單位長度、再向上平移2個單位長度,得到△A1B1C1,畫出△A1B1C1;
②△A2B2C2與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱,畫出△A2B2C2.
(2)在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2關(guān)于點(diǎn)M成中心對稱,請直接寫出對稱中心M點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“垃圾分類”越來越受到人們的關(guān)注,我市某中學(xué)對部分學(xué)生就“垃圾分類”知識的了解程度,采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式,并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計,繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息回答下列問題:
(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有 人,條形統(tǒng)計圖中的值為 ;
(2)扇形統(tǒng)計圖中“了解很少”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為 ;
(3)若從對垃圾分類知識達(dá)到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人參加垃圾分類知識競賽,請用列表或畫樹狀圖的方法,求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=2x2的圖象如圖所示,坐標(biāo)原點(diǎn)O,點(diǎn)B1,B2,B3在y軸的正半軸上,點(diǎn)A1,A2,A3在二次函數(shù)y=2x2位于第一象限的圖象上,若△A1OB1,△A2B1B2,△A3B2B3都為等腰直角三角形,且點(diǎn)A1,A2,A3均為直角頂點(diǎn),則點(diǎn)A3的坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),最大值為16,且形狀與拋物線y=4x2+2x﹣3相同,則此函數(shù)的關(guān)系式為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為活躍聯(lián)歡晚會的氣氛,組織者設(shè)計了以下轉(zhuǎn)盤游戲:A、B兩個帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個面積相等的扇形,轉(zhuǎn)盤A上的數(shù)字分別是1,6,8,轉(zhuǎn)盤B上的數(shù)字分別是4,5,7(兩個轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同外,其他完全相同).每次選擇2名同學(xué)分別撥動A、B兩個轉(zhuǎn)盤上的指針,使之產(chǎn)生旋轉(zhuǎn),指針停止后所指數(shù)字較大的一方為獲勝者,負(fù)者則表演一個節(jié)目(若箭頭恰好停留在分界線上,則重轉(zhuǎn)一次).作為游戲者,你會選擇A、B中哪個轉(zhuǎn)盤呢?并請說明理由.
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