【題目】如圖,已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點A(﹣3,﹣3).
(1)求正比例函數和反比例函數的表達式;
(2)把直線OA向上平移后與反比例函數的圖象交于點B(﹣6,m),與x軸交于點C,求m的值和直線BC的表達式;
(3)在(2)的條件下,直線BC與y軸交于點D,求以點A,B,D為頂點的三角形的面積;
(4)在(3)的條件下,點A,B,D在二次函數的圖象上,試判斷該二次函數在第三象限內的圖象上是否存在一點E,使四邊形OECD的面積S1與四邊形OABD的面積S滿足:S1=S?若存在,求點E的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) ,;(2) ,;(3);(4)E的坐標是(﹣2,﹣).
【解析】
(1)利用待定系數法即可求得函數的解析式;
(2)把B(﹣6,m)代入反比例函數解析式即可求出m的值,再根據直線平移的性質即可求直線BC的表達式;
(3)作AM⊥y軸于點M,作BN⊥y軸于點N,根據S四邊形ABDM=S梯形ABNM+S△BDN,S△ABD=S四邊形ABDM﹣S△ADM即可求解;
(4)設二次函數的解析式是y=ax2+bx+,然后利用待定系數法求得二次函數的解析式,根據S1=S即可求得S1的值,根據S1=S△OCD+S△OCE列方程求出y0的值,再由E(x0,y0)在二次函數的圖象上,即可求得x0的值,進而求得E的坐標.
解:(1)設正比例函數的解析式是y=kx,代入(﹣3,﹣3),得:﹣3k=﹣3,解得:k=1,
則正比例函數的解析式是:y=x;
設反比例函數的解析式是y=,把(﹣3,﹣3)代入解析式得:k1=9,
則反比例函數的解析式是:y=;
(2)m==﹣,則點B的坐標是(﹣6,﹣),
∵y=k3x+b的圖象是由y=x平移得到,
∴k3=1,即y=x+b,
故一次函數的解析式是:y=x+;
(3)∵y=x+的圖象交y軸于點D,
∴D的坐標是(0,),
作AM⊥y軸于點M,作BN⊥y軸于點N.
∵A的坐標是(﹣3,﹣3),B的坐標是(6,﹣),
∴M的坐標是(0,﹣3),N的坐標是(0,﹣).
∴OM=3,ON=.
則MD=3+=,DN=+=6,MN=3﹣=.
則S△ADM=×3×=,S△BDN=×6×6=18,S梯形ABNM=×(3+6)×=.
則S四邊形ABDM=S梯形ABNM+S△BDN=+18=,
S△ABD=S四邊形ABDM﹣S△ADM=﹣=;
(4)設二次函數的解析式是y=ax2+bx+,
則,
解得:,
則這個二次函數的解析式是:y=x2+4x+;
點C的坐標是(﹣,0).
則S=×6﹣×6×6﹣×3×﹣×3×=45﹣18﹣﹣=.
假設存在點E(x0,y0),使S1=S=×=.
∵四邊形CDOE的頂點E只能在x軸的下方,
∴y0<0,
∴S1=S△OCD+S△OCE=××﹣×y0=﹣y0,
∴﹣y0=,
∴y0=﹣,
∵E(x0,y0)在二次函數的圖象上,
∴x02+4x0+=﹣,
解得:x0=﹣2或﹣6.
當x0=﹣6時,點E(﹣6,﹣)與點B重合,這時CDOE不是四邊形,故x0=﹣6(舍去).
∴E的坐標是(﹣2,﹣).
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【題目】冬至是一年中太陽光照射最少的日子,如果此時樓房最低層能采到陽光,一年四季整座樓均能受到陽光照射,所以冬至是選房買房時確定陽光照射的最好時機.吳江某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓.該居民樓的一樓是高為米的小區(qū)超市,超市以上是居民住房,現計劃在該樓前面米處蓋一棟新樓,已知吳江地區(qū)冬至正午的陽光與水平線夾角大約為.(參考數據在,)
中午時,若要使得超市采光不受影響,則新樓的高度不能超過多少米?(結果保留整數)
若新建的大樓高米,則中午時,超市以上的居民住房采光是否受影響,為什么?
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【題目】矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點E是BC邊上一點,連接AE,把∠B沿AE折疊,使點B落在點B′處,當△CEB′為直角三角形時,BE的長為( )
A. 3 B. C. 2或3 D. 3或
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【題目】如圖,在等邊△ABC中,線段AM為BC邊上的中線.動點D在直線AM上時,以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE,連結BE.
(1)求∠CAM的度數;
(2)若點D在線段AM上時,求證:△ADC≌△BEC;
(3)當動D在直線AM上時,設直線BE與直線AM的交點為O,試判斷∠AOB是否為定值?并說明理由.
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【題目】如圖,圓C過原點并與坐標軸分別交于A、D兩點,已知點B為圓C圓周上一動點,且∠ABO=30°,點D的坐標為(0,2).
(1)直接寫出圓心 C 的坐標;
(2)當△BOD為等邊三角形時,求點B的坐標;
(3)若以點B為圓心、r為半徑作圓B,當圓B與兩個坐標軸同時相切時,求點B的坐標.
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【題目】某藥廠銷售部門根據市場調研結果,對該廠生產的一種新型原料藥未來兩年的銷售進行預測,井建立如下模型:設第t個月該原料藥的月銷售量為P(單位:噸),P與t之間存在如圖所示的函數關系,其圖象是函數P=(0<t≤8)的圖象與線段AB的組合;設第t個月銷售該原料藥每噸的毛利潤為Q(單位:萬元),Q與t之間滿足如下關系:Q=
(1)當8<t≤24時,求P關于t的函數解析式;
(2)設第t個月銷售該原料藥的月毛利潤為w(單位:萬元)
①求w關于t的函數解析式;
②該藥廠銷售部門分析認為,336≤w≤513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產和銷售的月毛利潤范圍,求此范圍所對應的月銷售量P的最小值和最大值.
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【題目】2019年11月份,我縣教體局由縣城老區(qū)搬到了新區(qū)(海豐16路與棣新4路交叉口),當時某科室需要把相關檔案由老區(qū)辦公樓搬到新區(qū)辦公樓,甲搬家公司單獨工作了3天,完成總量的;這時為了加快進度,又調來乙搬家公司合干,兩隊又共同工作了3天,全部搬完檔案。假若在工作期間甲、乙兩搬家公司各自的工作效率不變,問若單獨干完這項工作哪個搬家公司的速度快?(用方程解答)
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【題目】正比例函數y=2x的圖象與一次函數y=kx+b的圖象交于點A(m,2),一次函數圖象經過點B(﹣2,﹣1).
(1)求一次函數解析式;
(2)判斷(3,5)是否在一次函數圖象上.
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【題目】如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為30、40、50.其三條角平分線交于點O,則S△ABO :S△BCO :S△CAO =______ 。
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