Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=900,AC=BC,D為AB中點(diǎn).E、F分別從A、C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位速度分別向C、B運(yùn)動(dòng)（分別到達(dá)C、B后停止運(yùn)動(dòng)）

（1）求證：①DE=DF；②DE⊥DF.

（2）若AB=.運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.

①求△AED面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

②若△BDF為等腰三角形，求t；

③連接EF，若EF最小，求t.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②；③t=2

【解析】試題分析：（1）連接CD，利用邊角邊證即可；

（2）①利用三角形的面積公式即可列出函數(shù)關(guān)系式；

②分三種情況DF=DB,DF=BF,BD=BF進(jìn)行討論即可：

③由（1）可知， 為等腰直角三角形，當(dāng)DE最小（即DE⊥AC）時(shí)，EF最小，即可求解.

解：（1）連接CD，

∵∠ACB=900,AC=BC,

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴,

∵D為AB中點(diǎn)，

∴CD=AD=BD, ,

∴

∵E、F分別從A、C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位速度分別向C、B運(yùn)動(dòng)，

∴

∴,

∴DE=DF, ,

∵

∴DE⊥DF.

（2）作DM⊥AC垂足為M，則DM＝,

∵AB=，且∠ACB=900,AC=BC,

∴由勾股定理得，

∴DM＝2,

∵AM=t,

∴

即

∴

②有三種情況，

當(dāng)DF=BD時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F在C處，即

當(dāng)DF=BF時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F在BC中點(diǎn)處，即

當(dāng)DB=BF時(shí)，BF=DB= CF=即

綜上所述，當(dāng)△BDF為等腰三角形時(shí)， t的值為.

③當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，EF最小，此時(shí)