Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PD切⊙O于點(diǎn)C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC．

（1）求證：BC平分∠PDB；
（2）求證：BC²=AB•BD；
（3）若PA=6，PC=6，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）證明：連接OC，

∵PD為圓O的切線，∴OC⊥PD。
∵BD⊥PD，∴OC∥BD。∴∠OCB=∠CBD。
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。
∴∠CBD=∠OBC，即BC平分∠PBD。
（2）證明：連接AC，
∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°。
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD。
∴，即BC²=AB•BD。
（3）∵PC為圓O的切線，PAB為割線，∴PC²=PA•PB，即72=6PB，解得：PB=12。
∴AB=PB－PA=12－6=6。∴OC=3，PO=PA+AO=9。
∵△OCP∽△BDP，∴，即。
∴BD=4。

（1）連接OC，由PD為圓O的切線，由切線的性質(zhì)得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC與BD平行，利用兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由OC=OB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換即可得證。
（2）連接AC，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到△ABC為直角三角形，根據(jù)一對(duì)直角相等，以及（1）的結(jié)論得到一對(duì)角相等，確定出△ABC與△BCD相似，由相似得比例，變形即可得證。
（3）由切割線定理列出關(guān)系式，將PA，PC的長(zhǎng)代入求出PB的長(zhǎng)，由PB﹣PA求出AB的長(zhǎng)，確定出圓的半徑，由OC與BD平行得到△PCO與△DPB相似，由相似得比例，將OC，OP，以及PB的長(zhǎng)代入即可求出BD的長(zhǎng)。