【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,為原點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為,以為直徑的圓與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn).
(1)求圖象經(jīng)過,,三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)為所求拋物線的頂點(diǎn),試判斷直線與的關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)(2)直線與相切,理由見解析
【解析】
(1)已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),要求拋物線的解析式,即要求點(diǎn)C的坐標(biāo),由相似三角形的判定與性質(zhì)求出OC的長(zhǎng)度,即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)M的坐標(biāo),分別求出MP、CP、CM的長(zhǎng)度,利用勾股定理逆定理判定△CPM為直角三角形,從而得出PC⊥MC,所以直線MC與⊙P相切.
解:(1)連接AC、BC;
∵AB是⊙P的直徑,
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠BCO=90°,
∵∠BCO+∠CBO=90°,
∴∠CBO=∠ACO,
∵∠AOC=∠BOC=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴=,
∴OC2=OA·OB=16,
∴OC=4,
故C(0,﹣4),
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+8)(x﹣2),
代入C點(diǎn)坐標(biāo)得:a(0+8)(0﹣2)=﹣4,a=,
故拋物線的解析式為:y=(x+8)(x﹣2)=+x﹣4;
(2)由(1)知:y=+x﹣4=﹣;
則M(﹣3,﹣),
又∵C(0,﹣4),P(﹣3,0),
∴MP=,PC=5,MC=,
∴MP2=MC2+PC2,即△MPC是直角三角形,且∠PCM=90°,
故直線MC與⊙P相切.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn),得到如圖所示的圖形,下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. 是等邊三角形
B. 連接,則分別平分和
C. 整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形,但不是中心對(duì)稱圖形
D. 四邊形與四邊形的面積相等
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【題目】如圖為二次函數(shù)的圖象,、、為拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),且,則下列關(guān)系中正確的是( )
A. ac<0 B. b<2a C. a+b=-1 D. a-b=-1
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【題目】.如圖,圓柱底面半徑為,高為,點(diǎn)分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn),且、在同一母線上,用一棉線從順著圓柱側(cè)面繞3圈到,求棉線最短為_________。
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【題目】某市計(jì)劃建造一座如圖設(shè)計(jì)的塔形建筑物作為市標(biāo),最底層的圓柱形的底面半徑為,高為米,再上去的圓柱形底面半徑以的比例縮小,而樓層的高度也以同樣的比例縮小,那么要使得建筑物的表面積不超過平方米(表面積不包括最底層的底面積),樓層最高為________層.取
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把△ABC放置在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy,△ABC與△A′B′C′關(guān)于y軸對(duì)稱.
(1)畫出該平面直角坐標(biāo)系與△A′B′C′.
(2)在y軸上找點(diǎn)P,使PC+PB′的值最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo)與PC+PB'的最小值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)垃圾進(jìn)行分類投放,能有效提高對(duì)垃圾的處理和再利用,減少污染,保護(hù)環(huán)境.為了解同學(xué)們對(duì)垃圾分類知識(shí)的了解程度,增強(qiáng)同學(xué)們的環(huán)保意識(shí),普及垃圾分類及投放的相關(guān)知識(shí),某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了“垃圾分類知識(shí)及投放情況”問卷,并在本校隨機(jī)抽取若干名同學(xué)進(jìn)行了問卷測(cè)試,根據(jù)測(cè)試成績(jī)分布情況,他們將全部測(cè)試成績(jī)分成A、B、C、D四組,繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖表:
“垃圾分類知識(shí)及投放情況”問卷測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖表
組別 | 分?jǐn)?shù)/分 | 頻數(shù) | 各組總分/分 |
A | 60<x≤70 | 38 | 2 581 |
B | 70<x≤80 | 72 | 5 543 |
C | 80<x≤90 | 60 | 5 100 |
D | 90<x≤100 | m | 2 796 |
依據(jù)以上統(tǒng)計(jì)信息,解答下列問題:
(1)求得m=________,n=__________;
(2)這次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)落在______組;
(3)求本次全部測(cè)試成績(jī)的平均數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明從家去李寧體育館游泳,同時(shí),媽媽從李寧體育館以50米/分的速度回家,小明到體育館后發(fā)現(xiàn)要下雨,立即返回,追上媽媽后,小明以250米/分的速度回家取傘,立即又以250米/分的速度折回接?jì)寢,并一同回家.如圖是兩人離家的距離y(米)與小明出發(fā)的時(shí)間x(分)之間的函數(shù)圖像.(注:小明和媽媽始終在同一條筆直的公路上行走,圖像上A、C、D、F四點(diǎn)在一條直線上)
(1)求線段oB及線段AF的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求C點(diǎn)的坐標(biāo)及線段BC的函數(shù)表達(dá)式;
(3)當(dāng)x為 時(shí),小明與媽媽相距1500米;
(4)求點(diǎn)D坐標(biāo),并說明點(diǎn)D的實(shí)際意義.
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【題目】綜合與實(shí)踐﹣猜想、證明與拓廣
問題情境:
數(shù)學(xué)課上同學(xué)們探究正方形邊上的動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的有關(guān)問題,如圖1,正方形ABCD中,點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn),點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,直線DF交AB于點(diǎn)H,直線FB與直線AE交于點(diǎn)G,連接DG,CG.
猜想證明
(1)當(dāng)圖1中的點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)得到圖2,此時(shí)點(diǎn)G也與點(diǎn)B重合,點(diǎn)H與點(diǎn)A重合.同學(xué)們發(fā)現(xiàn)線段GF與GD有確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,其結(jié)論為: ;
(2)希望小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn),圖1中的點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),(1)中結(jié)論始終成立,為證明這兩個(gè)結(jié)論,同學(xué)們展開了討論:
小敏:根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),很容易得到“GF與GD的數(shù)量關(guān)系”…
小麗:連接AF,圖中出現(xiàn)新的等腰三角形,如△AFB,…
小凱:不妨設(shè)圖中不斷變化的角∠BAF的度數(shù)為n,并設(shè)法用n表示圖中的一些角,可證明結(jié)論.
請(qǐng)你參考同學(xué)們的思路,完成證明;
(3)創(chuàng)新小組的同學(xué)在圖1中,發(fā)現(xiàn)線段CG∥DF,請(qǐng)你說明理由;
聯(lián)系拓廣:
(4)如圖3若將題中的“正方形ABCD”變?yōu)?/span>“菱形ABCD“,∠ABC=α,其余條件不變,請(qǐng)?zhí)骄俊?/span>DFG的度數(shù),并直接寫出結(jié)果(用含α的式子表示).
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