【題目】綜合與實(shí)踐﹣猜想、證明與拓廣
問(wèn)題情境:
數(shù)學(xué)課上同學(xué)們探究正方形邊上的動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的有關(guān)問(wèn)題,如圖1,正方形ABCD中,點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn),點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)F,直線(xiàn)DF交AB于點(diǎn)H,直線(xiàn)FB與直線(xiàn)AE交于點(diǎn)G,連接DG,CG.
猜想證明
(1)當(dāng)圖1中的點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)得到圖2,此時(shí)點(diǎn)G也與點(diǎn)B重合,點(diǎn)H與點(diǎn)A重合.同學(xué)們發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段GF與GD有確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,其結(jié)論為: ;
(2)希望小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn),圖1中的點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),(1)中結(jié)論始終成立,為證明這兩個(gè)結(jié)論,同學(xué)們展開(kāi)了討論:
小敏:根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),很容易得到“GF與GD的數(shù)量關(guān)系”…
小麗:連接AF,圖中出現(xiàn)新的等腰三角形,如△AFB,…
小凱:不妨設(shè)圖中不斷變化的角∠BAF的度數(shù)為n,并設(shè)法用n表示圖中的一些角,可證明結(jié)論.
請(qǐng)你參考同學(xué)們的思路,完成證明;
(3)創(chuàng)新小組的同學(xué)在圖1中,發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段CG∥DF,請(qǐng)你說(shuō)明理由;
聯(lián)系拓廣:
(4)如圖3若將題中的“正方形ABCD”變?yōu)?/span>“菱形ABCD“,∠ABC=α,其余條件不變,請(qǐng)?zhí)骄俊?/span>DFG的度數(shù),并直接寫(xiě)出結(jié)果(用含α的式子表示).
【答案】(1) GF=GD,GF⊥GD;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析;(4) 90°﹣.
【解析】
(1)根據(jù)四邊形ABCD是正方形可得∠ABD=∠ADB=45°,∠BAD=90°,點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)F,即可證明出∠DBF=90°,故GF⊥GD,再根據(jù)∠F=∠ADB,即可證明GF=GD;
(2)連接AF,證明∠AFG=∠ADG,再根據(jù)四邊形ABCD是正方形,得出AB=AD,∠BAD=90°,設(shè)∠BAF=n,∠FAD=90°+n,可得出∠FGD=360°﹣∠FAD﹣∠AFG﹣∠ADG=360°﹣(90°+n)﹣(180°﹣n)=90°,故GF⊥GD;
(3)連接BD,由(2)知,FG=DG,F(xiàn)G⊥DG,再分別求出∠GFD與∠DBC的角度,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可證明出△BDF∽△CDG,故∠DGC=∠FDG,則CG∥DF;
(4)連接AF,BD,根據(jù)題意可證得∠DAM=90°﹣∠2=90°﹣∠1,∠DAF=2∠DAM=180°﹣2∠1,再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠ADB=∠ABD=α,故∠AFB+∠DBF+∠ADB+∠DAF=(∠DFG+∠1)+(∠DFG+∠1+α)+α+(180°﹣2∠1)=360°,2∠DFG+2∠1+α﹣2∠1=180°,即可求出∠DFG.
解:(1)GF=GD,GF⊥GD,
理由:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABD=∠ADB=45°,∠BAD=90°,
∵點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)F,∠BAD=∠BAF=90°,
∴∠F=∠ADB=45°,∠ABF=∠ABD=45°,
∴∠DBF=90°,
∴GF⊥GD,
∵∠BAD=∠BAF=90°,
∴點(diǎn)F,A,D在同一條線(xiàn)上,
∵∠F=∠ADB,
∴GF=GD,
故答案為:GF=GD,GF⊥GD;
(2)連接AF,∵點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)F,
∴直線(xiàn)AE是線(xiàn)段DF的垂直平分線(xiàn),
∴AF=AD,GF=GD,
∴∠1=∠2,∠3=∠FDG,
∴∠1+∠3=∠2+∠FDG,
∴∠AFG=∠ADG,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
設(shè)∠BAF=n,
∴∠FAD=90°+n,
∵AF=AD=AB,
∴∠FAD=∠ABF,
∴∠AFB+∠ABF=180°﹣n,
∴∠AFB+∠ADG=180°﹣n,
∴∠FGD=360°﹣∠FAD﹣∠AFG﹣∠ADG=360°﹣(90°+n)﹣(180°﹣n)=90°,
∴GF⊥DG,
(3)如圖2,連接BD,由(2)知,FG=DG,F(xiàn)G⊥DG,
∴∠GFD=∠GDF=(180°﹣∠FGD)=45°,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°,
∴∠BDC=∠DBC=(180°﹣∠BCD)=45°,
∴∠FDG=∠BDC,
∴∠FDG﹣∠BDG=∠BDC﹣∠BDG,
∴∠FDB=∠GDC,
在Rt△BDC中,sin∠DFG==sin45°=,
在Rt△BDC中,sin∠DBC==sin45°=,
∴,
∴,
∴△BDF∽△CDG,
∵∠FDB=∠GDC,
∴∠DGC=∠DFG=45°,
∴∠DGC=∠FDG,
∴CG∥DF;
(4)90°﹣,理由:如圖3,連接AF,BD,
∵點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于AE對(duì)稱(chēng),
∴AE是線(xiàn)段DF的垂直平分線(xiàn),
∴AD=AF,∠1=∠2,∠AMD=90°,∠DAM=∠FAM,
∴∠DAM=90°﹣∠2=90°﹣∠1,
∴∠DAF=2∠DAM=180°﹣2∠1,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
∴∠AFB=∠ABF=∠DFG+∠1,
∵BD是菱形的對(duì)角線(xiàn),
∴∠ADB=∠ABD=α,
在四邊形ADBF中,∠AFB+∠DBF+∠ADB+∠DAF=(∠DFG+∠1)+(∠DFG+∠1+α)+α+(180°﹣2∠1)=360°
∴2∠DFG+2∠1+α﹣2∠1=180°,
∴∠DFG=90°﹣.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,為原點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為,以為直徑的圓與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn).
(1)求圖象經(jīng)過(guò),,三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)為所求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),試判斷直線(xiàn)與的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小美周末來(lái)到公園,發(fā)現(xiàn)在公園一角有一種“守株待兔”游戲.游戲設(shè)計(jì)者提供了一只兔子和一個(gè)有A、B、C、D、E五個(gè)出入口的兔籠,而且籠內(nèi)的兔子從每個(gè)出入口走出兔籠的機(jī)會(huì)是均等的.規(guī)定:
①玩家只能將小兔從A、B兩個(gè)出入口放入;
②如果小兔進(jìn)入籠子后選擇從開(kāi)始進(jìn)入的出入口離開(kāi),則可獲得一只價(jià)值5元小兔玩具,否則應(yīng)付費(fèi)3元.
(1)問(wèn)小美得到小兔玩具的機(jī)會(huì)有多大?
(2)假設(shè)有100人次玩此游戲,估計(jì)游戲設(shè)計(jì)者可賺多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,線(xiàn)段CD垂直平分線(xiàn)段AB,垂足為H,CA的延長(zhǎng)線(xiàn)交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F.
(1)求證:DE=DF;
(2)若AE=AB,∠E=22.5°,則直接寫(xiě)出圖中內(nèi)角含有45°等腰三角形(寫(xiě)出3個(gè)即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:材料1:如果一個(gè)多項(xiàng)式中的字母按照任何次序輪換后,原多項(xiàng)式不變,那么稱(chēng)該多項(xiàng)式是輪換多項(xiàng)式,簡(jiǎn)稱(chēng)輪換式.例如:多項(xiàng)式,將字母換字母,字母換字母,得到多項(xiàng)式,而,所以多項(xiàng)式是輪換式.我們把含有兩個(gè)字母的輪換式稱(chēng)為二元輪換式,其中含字母,的二元輪換式的基本輪換式是和,像,等二元輪換式都可以用,表示,例如:.
材料2:因?yàn)?/span>,所以,對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式的因式分解,就是把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的積,且使這兩數(shù)的和等于,即如果有,兩數(shù)滿(mǎn)足,,則有.如分解因式:因?yàn)?/span>,,所以.
請(qǐng)根據(jù)以上材料解決下列問(wèn)題:
(1)式子①;②;③,④中,屬于輪換式的是 (填序號(hào));
(2)因式分解: ; ;
(3)若(其中),且,求的值并把式子因式分解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】據(jù)調(diào)查,超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一.小強(qiáng)用所學(xué)知識(shí)對(duì)一條筆直公路上的車(chē)輛進(jìn)行測(cè)速,如圖所示,觀測(cè)點(diǎn)C到公路的距離CD=200m,檢測(cè)路段的起點(diǎn)A位于點(diǎn)C的南偏東60°方向上,終點(diǎn)B位于點(diǎn)C的南偏東45°方向上.一輛轎車(chē)由東向西勻速行駛,測(cè)得此車(chē)由A處行駛到B處的時(shí)間為10s.問(wèn)此車(chē)是否超過(guò)了該路段16m/s的限制速度?(觀測(cè)點(diǎn)C離地面的距離忽略不計(jì),參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊選撥賽,每人射擊10次,其中射擊中靶情況如表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | 第七次 | 第八次 | 第九次 | 第十次 | |
甲 | 7 | 10 | 8 | 10 | 9 | 9 | 10 | 8 | 10 | 9 |
乙 | 10 | 7 | 10 | 9 | 9 | 10 | 8 | 10 | 7 | 10 |
(1)選手甲的成績(jī)的中位數(shù)是 分;選手乙的成績(jī)的眾數(shù)是 分;
(2)計(jì)算選手甲的平均成績(jī)和方差;
(3)已知選手乙的成績(jī)的方差是15,則成績(jī)較穩(wěn)定的是哪位選手?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等腰三角形,AB=AC,點(diǎn)D是AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E,交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.
(1)證明:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的長(zhǎng),
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,△ABD和△BCD都是等邊三角形,E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn),且DE=CF,連接BE、EF、FB.
求證:(1)△ABE≌△DBF;
(2)△BEF是等邊三角形.
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