Question

【題目】問題提出

如圖①，、是⊙的兩條弦， ， 是的中點， ，垂足為．

求證： ．

小敏在解答此題時，利用了“補短法”進行證明，她的方法如下：

如圖②，延長至，使，連接、、、、．

（請你在下面的空白處完成小敏的證明過程．）

推廣運用

如圖③，等邊內(nèi)接于⊙， ． 是上一點， ， ，垂足為，則的周長是__________．

拓展研究

如圖④，若將“問題提出”中的“是的中點”改成“是的中點”，其余條件不變，“”這一結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，寫出、、三者之間存在的關(guān)系并說明理由．

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：問題提出：首先證明△EAM≌△BAM（SAS），進而得出ME=MC，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出ED=CD，即可得出答案；

推廣運用：首先證明△ABF≌ACD（SAS），進而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，進而求出DE的長即可得出答案；

拓展研究：連接EA，EF，ED，EB交AC于N，根據(jù)已知條件得到∠BEM=∠CEM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=ND，∠ECD=∠END，根據(jù)等腰三角形的判定得到AN=AB，于是得到結(jié)論．

試題解析：問題提出：證明：如圖2，延長CA至E，使AE=AB，連接MA、MB、MC、ME、BC，

∵M是的中點，

∴MB=MC，∠MBC=∠MCB，

∵∠MAB=180°-∠MCB，

∵∠EAM=180°-∠CAM=180°-∠MBC，

∴∠EAM=∠BAM，

在△EAM和△BAM中

∵，

∴△EAM≌△BAM（SAS），

∴ME=MC，

又∵MD⊥AC，

∴ED=CD，

∴DC=AD+AE=BA+AD；

推廣運用：解：如圖3，截取BF=CD，連接AF，AD，CD，

由題意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，

在△ABF和△ACD中

∵，

∴△ABF≌ACD（SAS），

∴AF=AD，

∵AE⊥BD，

∴FE=DE，則CD+DE=BE，

∵∠ABD=45°，

∴BE==，

則△BDC的周長是1+；

拓展研究：不成立，CD、BA、AD三者之間的關(guān)系：AD=BA+CD，

證明：連接EA，EF，ED，EB交AC于N，

∵M是的中點，

∴∠BEM=∠CEM，

在△EDN和△EDC中，

，

∴CD=ND，∠ECD=∠END，

∵∠ECD=∠ABE，∠ENC=∠ANB，

∴∠ANB=∠ABE，

∴AN=AB，

∴AD=AN+∠ND=BA+CD．