【題目】如圖,在Rt△ABO中,∠BAO=90°,AO=AB,BO=8,點A的坐標(biāo)(﹣8,0),點C在線段AO上以每秒2個單位長度的速度由A向O運動,運動時間為t秒,連接BC,過點A作AD⊥BC,垂足為點E,分別交BO于點F,交y軸于點 D.
(1)用t表示點D的坐標(biāo) ;
(2)如圖1,連接CF,當(dāng)t=2時,求證:∠FCO=∠BCA;
(3)如圖2,當(dāng)BC平分∠ABO時,求t的值.
【答案】(1)(0,2t);(2)見解析;(3)t=4(﹣1)
【解析】
(1)由已知條件可證明△ABC≌△OAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出點D的坐標(biāo);
(2)由(1)的結(jié)論可證明△FOD≌△FOC,從而∠FCO=∠FDO,再根據(jù)(1)中△ABC≌△OAD,可得∠ACB=∠ADO,進而∠FCO=∠ACB得證;
(3)在AB上取一點K,使得AK=AC,連接CK.設(shè)AK=AC=m,則CK=m,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形外角和定理可得KB=KC=m,從而求得m的值,進而t的值也可求出.
解:(1)∵AD⊥BC,
∴∠AEB=90°=∠BAC=∠AOD,
∴∠ABC+∠BAE=90°,∠BAE+∠OAD=90°,
∴∠ABC=∠OAD,
∵AB=OA,
∴△ABC≌△OAD(ASA),
∴OD=AC=2t,
∴D(0,2t).
故答案為(0,2t);
(2)如圖1中,
∵AB=AO,∠BAO=90°,OB=,
∴AB=AO=8,
∵t=2,
∴AC=OD=4,
∴OC=OD=4,
∵OF=OF,∠FOD=∠FOC,
∴△FOD≌△FOC(SAS),
∴∠FCO=∠FDO,
∵△ABC≌△OAD,
∴∠ACB=∠ADO,
∴∠FCO=∠ACB;
(3)如圖2中,在AB上取一點K,使得AK=AC,連接CK.設(shè)AK=AC=m,則CK=m.
∵CB平分∠ABO,
∴∠ABC=22.5°,
∵∠AKC=45°=∠ABC+∠KCB,
∴∠KBC=∠KCB=22.5°,
∴KB=KC=m,
∴m+m=8,
∴m=8(),
∴t==4(﹣1).
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【題目】ABCD中,E是CD邊上一點,
(1)將△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn),使AD、AB重合,得到△ABF,如圖1所示.觀察可知:與DE相等的線段是 , ∠AFB=∠ .
(2)如圖2,正方形ABCD中,P、Q分別是BC、CD邊上的點,且∠PAQ=45°,試通過旋轉(zhuǎn)的方式說明:DQ+BP=PQ.
(3)在(2)題中,連接BD分別交AP、AQ于M、N,你還能用旋轉(zhuǎn)的思想說明BM2+DN2=MN2 .
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【題目】如圖,在△中,,平分,,
(1)求的度數(shù);
(2)探究:小明認(rèn)為如果只知道,也能得出的度數(shù).請你寫出求解過程.
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【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,過點B作BD⊥AB,過點C作CD⊥BC,兩線相交于點D,AF平分∠BAC交BC于點E,交BD于點F.
(1)若∠BAC=68°,求∠DBC;
(2)求證:點F為BD中點;
(3)若AC=BD,且CD=3,求四邊形ABDC的面積.
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【題目】如圖,六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等,∠FAD=60°.
(1)求∠ADE的度數(shù);
(2)求證:EF∥BC.
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【題目】如圖,△ABC是等腰直角三角形,AB=BC,O是△ABC內(nèi)部的一個動點,△OBD是等腰直角三角形,OB=BD.
(1)求證:∠AOB=∠CDB;
(2)若△COD是等腰三角形,∠AOC=140°,求∠AOB的度數(shù).
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【題目】隨著新農(nóng)村的建設(shè)和舊城的改造,我們的家園越來越美麗,小明家附近廣場中央新修了個圓形噴水池,在水池中心豎直安裝了一根高為2米的噴水管,它噴出的拋物線形水柱在與水池中心的水平距離為1米處達到最高,水柱落地處離池中心3米.
(1)請你建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,并求出水柱拋物線的函數(shù)解析式;
(2)求出水柱的最大高度的多少?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC頂點的坐標(biāo)分別是A(﹣1,3)、B(﹣5,1)、C(﹣2,﹣2).
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′,并寫出△A′B′C′各頂點的坐標(biāo);
(2)求出△ABC的面積.
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