【題目】如圖1,已知拋物線y=ax2+bx+3=0(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(﹣3,0),與y軸交于點(diǎn)C
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M,請問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△CMP為等腰三角形?若存在,請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長最小?若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)存在符合條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為或或(﹣1,6)或;(3)存在,Q(﹣1,2).
【解析】
(1)已知拋物線過A、B兩點(diǎn),可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式;
(2)可根據(jù)(1)的函數(shù)解析式得出拋物線的對稱軸,也就得出了M點(diǎn)的坐標(biāo),由于C是拋物線與y軸的交點(diǎn),因此C的坐標(biāo)為(0,3),根據(jù)M、C的坐標(biāo)可求出CM的距離.然后分三種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)CP=PM時,②當(dāng)CM=MP時,③當(dāng)CM=CP時,可分別得出P的坐標(biāo);
(3)根據(jù)軸對稱﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}解答.
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(﹣3,0),
∴,
解得:.
∴所求拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;
(2)存在,如圖1,
∵拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3,
∴其對稱軸為,
∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,a),
∴C(0,3),M(﹣1,0),
PM2=a2,CM2=(﹣1)2+32,CP2=(﹣1)2+(3﹣a)2,
分類討論:
(1)當(dāng)PC=PM時,
(﹣1)2+(3﹣a)2=a2,解得,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:P1(﹣1,);
(2)當(dāng)MC=MP時,
(﹣1)2+32=a2,解得,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:或;
(3)當(dāng)CM=CP時,
(﹣1)2+32=(﹣1)2+(3﹣a)2,解得a=6,a=0(舍),
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:P4(﹣1,6).
綜上所述存在符合條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為或或P(﹣1,6)或.
(3)存在,Q(﹣1,2),
理由如下:如圖2,
點(diǎn)C(0,3)關(guān)于對稱軸x=﹣1的對稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)是(﹣2,3),連接AC′,直線AC′與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q.
設(shè)直線AC′函數(shù)關(guān)系式為:y=kx+t(k≠0).
將點(diǎn)A(1,0),C′(﹣2,3)代入,得,
解得,
所以,直線AC′函數(shù)關(guān)系式為:y=﹣x+1.
將x=﹣1代入,得y=2,即Q(﹣1,2).
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A.B.C.D.
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A.1B.2C.3D.4
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請計(jì)算本次銷售中甲、乙兩種型號“消殺防護(hù)”套裝各銷售了多少套.
由于企業(yè)迫切需求,該醫(yī)藥超市決定再次購進(jìn)套甲、乙兩種型號的“消殺防護(hù)”套裝,商場規(guī)定甲型號套裝的采購數(shù)量不得超過乙型號的倍,請你通過計(jì)算說明如何采購才能讓第二次銷售獲得最大利潤.
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