Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線的圖象經(jīng)過坐標原點O，且與軸的另一交點為(，0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若直線與拋物線相交于點A和點B(點A在第二象限)，設點A′是點A關于原點O的對稱點，連接A′B，試判斷ΔAA′B的形狀，并說明理由；

(3)在問題(2)的基礎上，探究：平面內是否存在點P，使得以點A，B，A′，P為頂點的四邊形是菱形？若存在直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)ΔAA′B是等邊三角形；(3)存在，,,

【解析】

（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線F的解析式；

（2）先求出點A、B的坐標，利用對稱性求出點A′的坐標，利用兩點間的距離公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B為等邊三角形；

（3）根據(jù)等邊三角形的性質結合菱形的性質，可得出存在符合題意得點P，設點P的坐標為（x，y），分三種情況考慮：①當A′B為對角線時，根據(jù)菱形的性質（對角線互相平分）可求出點P的坐標；②當AB為對角線時，根據(jù)菱形的性質（對角線互相平分）可求出點P的坐標；③當AA′為對角線時，根據(jù)菱形的性質（對角線互相平分）可求出點P的坐標．綜上即可得出結論．

解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（0，0）和(，0)，

∴，解得：；

∴.

（2）ΔAA′B是等邊三角形；

∵，

解得：，

∴A()，B()，

過點A分別作AC⊥軸，AD⊥A′B，垂足分別為C，D，

∴AC=，OC=，

在RtΔAOC中

OA=，

∵點A′與點A關于原點對稱，

∴A′()，AA′=，

∵B()，

∴A′B=2-(-)=，

又∵A()，B()，

∴AD=，BD=，

在RtΔABD中

AB=，

∴AA′=A′B=AB，

∴ΔAA′B是等邊三角形；

（3）存在符合題意的點P，且以點A、B、A′、P為頂點的菱形分三種情況；

設點P的坐標為：（x，y）．

①當A′B為對角線時，有，

解得：，

∴點P為：；

②當AB為對角線時，有，

解得：，

∴點P為：；

③當AA′為對角線時，有，

解得：，

∴點P為：；

綜合上述，,,.