【題目】如圖,在平行四邊形中,是的中點,延長到點,使,連接.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)若,,,求的長.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)由“平行四邊形的對邊平行且相等”的性質(zhì)推知AD∥BC,且AD=BC;然后根據(jù)中點的定義、結(jié)合已知條件推知四邊形CEDF的對邊平行且相等(DF=CE,且DF∥CE),即四邊形CEDF是平行四邊形;
(2)如圖,過點D作DH⊥BE于點H,構(gòu)造含30度角的直角△DCH和直角△DHE.通過解直角△DCH和在直角△DHE中運用勾股定理來求線段ED的長度.
證明:(1)在ABCD中,AD∥BC,且AD=BC.
∵F是AD的中點,
∴DF=AD.
又∵CE=BC,
∴DF=CE,且DF∥CE,
∴四邊形CEDF是平行四邊形;
(2)解:如圖,過點D作DH⊥BE于點H.
在ABCD中,∵∠B=60°,
∴∠DCE=60°.
∵AB=4,
∴CD=AB=4,
∴CH=CD=2,DH=2.
在CEDF中,CE=DF=AD=3,則EH=1.
∴在Rt△DHE中,根據(jù)勾股定理知DE=.
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【題目】如圖,反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象與一次函數(shù)y=x的圖象交于A、B兩點(點A在第一象限).
(1)當點A的橫坐標為4時.
①求k的值;
②根據(jù)反比例函數(shù)的圖象,直接寫出當-4<x<1(x≠0)時,y的取值范圍;
(2)點C為y軸正半軸上一點,∠ACB=90°,且△ACB的面積為10,求k的值.
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【題目】如圖,點B、E分別在AC、DF上,AF分別交BD、CE于點M、N,∠A=∠F,∠1=∠2.
(1)求證:四邊形BCED是平行四邊形;
(2)已知DE=2,連接BN,若BN平分∠DBC,求CN的長.
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【題目】我們定義:如圖1,在中,把AB繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到,把AC繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到,連接.當時,我們稱是的“旋補三角形”,邊上的中線AD叫做的“旋補中線”,點A叫做“旋補中心”.
特例感知
(1)在圖2、圖3中,是△ABC的“旋補三角形”,是的“旋補中線”.
①如圖2,當為等邊三角形時,AD與的數(shù)量關(guān)系為AD= ;
②如圖3,當時,則長為 .
猜想論證
(2)在圖1中,當為任意三角形時,猜想與BC的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
拓展應用
(3)如圖4,在四邊形中,.在四邊形內(nèi)部是否存在點,使是的“旋補三角形”?若存在,求的“旋補中線”長;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖1,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠EAD,AB=AC,AD=AE,連接CD、AE交于點F.
(1)求證:BE=CD.
(2)當∠BAC=∠EAD=30°,AD⊥AB時(如圖2),延長DC、AB交于點G,請直接寫出圖中除△ABC、△ADE以外的等腰三角形.
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【題目】閱讀理解:
如圖1,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與點A、點B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點;如果這三個三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點.解決問題:
(1)如圖1,∠A=∠B=∠DEC=55°,試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點,并說明理由;
(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四點均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上,試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E;
拓展探究:
(3)如圖3,將矩形ABCD沿CM折疊,使點D落在AB邊上的點E處.若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點,試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】已知:如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,點E在邊AD上(不與點A、D重合),∠CEB=45°,EB與對角線AC相交于點F,設(shè)DE=x.
(1)用含x的代數(shù)式表示線段CF的長;
(2)如果把△CAE的周長記作C△CAE,△BAF的周長記作C△BAF,設(shè)=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它的定義域;
(3)當∠ABE的正切值是時,求AB的長.
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【題目】某種優(yōu)質(zhì)蜜柚,投入市場銷售時,經(jīng)調(diào)查,該蜜柚每天銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)之間符合一次函數(shù)關(guān)系,如圖所示.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)某農(nóng)戶今年共采摘該蜜柚4500千克,其保質(zhì)期為40天,若以18元/千克銷售,問能否在保質(zhì)期內(nèi)銷售完這批蜜柚?請說明理由.
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