【題目】(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖①,是等腰直角三角形,四邊形是正方形,點(diǎn)與點(diǎn)重合,則線段與之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是 .
(2)深入探究
如圖②,是等腰直角三角形,四邊形是正方形,點(diǎn)在直線上,對(duì)角線所在的直線交直線于點(diǎn),則線段之間有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)僅就圖②給出證明.
(3)拓展思維
如圖②,若點(diǎn)在直線上,且線段,當(dāng)時(shí),直接寫出此時(shí)正方形的面積.
【答案】(1);(2),證明見解析;(3)5或13
【解析】
(1)根據(jù)已知可得CF⊥BC,AD⊥BC,即可得出BD⊥CF,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出BD=CF;
(2)連接DF,GF,先證明△BAD≌△CAF,再根據(jù)勾股定理即可證明;
(3)分①當(dāng)D在BC上時(shí)和②當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),兩種情況結(jié)合正方形的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行討論求解即可.
解:(1)BD=CF,BD⊥CF
∵ADEF是正方形,
∴∠ADE=∠FCD=90°,AD=CD=CF=AF,
∴CF⊥BC,AD⊥BC,
∴BD⊥CF,
∵△ABC是等腰直角三角形,AD⊥BC,
∴D是BC中點(diǎn),
∴BD=CD,
∴BD=CF;
(2)BD2+CG2=DG2,
證明:連接DF,GF,
∵四邊形ADEF是正方形,
∴AE垂直平分DF,AD=AF,∠DAF=90°,
∴DG=FG,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=AC,∠BAC=90°,∠B=∠ACB=45°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC,
即∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中,
,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴BD=CF,∠B=∠ACF=45°,
∴∠GCF=∠ACB+∠ACF=90°,
在Rt△GCF中,由勾股定理,得CF2+CG2=FG2,
∴BD2+CG2=DG2;
(3)①當(dāng)D在BC上時(shí),
如圖,過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于點(diǎn)H,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AH=BH=BC=2,
∵BD=1,
∴DH=BH-BD=1,
∴在Rt△ADH中,AD==,
∴S正方形ADEF=AD2=5;
②當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),
如圖,過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于點(diǎn)H,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AH=BH=BC=2,
∵BD=1,
∴DH=BH+BD=3,
∴在Rt△ADH中,AD==,
∴S正方形ADEF=AD2=13;
綜上:正方形ADEF的面積為5或13.
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A.B.C.D.
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(1)填空: ; ;
(2)當(dāng)時(shí),直接寫出時(shí),的取值范圍;
(3)點(diǎn)是以格點(diǎn)為圓心, 為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn),連接取的中點(diǎn)試確定線段的取值范圍.
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【題目】如圖,中,邊上的高,點(diǎn)在上,且,點(diǎn)在上,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在高上移動(dòng)時(shí),點(diǎn)可左右移動(dòng)的最大距離是__________.
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筆試 | |||
口試 | |||
形象 | |||
平均分 |
(1)① ;
②在表格中的個(gè)數(shù)的中位數(shù)是 ,眾數(shù)是
(2)經(jīng)學(xué)校研究決定,在兩位同學(xué)中選一位.評(píng)比方法:按筆試成績(jī):口試成績(jī):形象得分進(jìn)行計(jì)算,得分最高的同學(xué)為本次文藝演出的女主持人.請(qǐng)你算一算哪位同學(xué)最后被選為本次文藝演出的女主持人?
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圖1 圖2
(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)作,交延長(zhǎng)線于點(diǎn),求證:與相切;
(2)若,,求的長(zhǎng);
(3)如圖2,把沿直線翻折得到,連接,當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí),探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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