【題目】ABCD中,∠ADC的平分線交直線BC于點(diǎn)E、交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AC.

(1)如圖1,若∠ADC=90°,G是EF的中點(diǎn),連接AG、CG.

①求證:BE=BF;

②請(qǐng)判斷△AGC的形狀,并說明理由.

(2)如圖2,若∠ADC=60°,將線段FB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至FG,連接AG、CG,判斷△AGC的形狀.(直接寫出結(jié)論不必證明)

【答案】(1)①證明見解析;②△AGC是等腰直角三角形.證明見解析;(2)△AGC是等邊三角形.

【解析】試題分析:(1①先判定四邊形ABCD是矩形,再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠ABC=90°,ABDC,ADBC,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠F=FDC,BEF=ADF,再根據(jù)DF是∠ADC的平分線,利用角平分線的定義得到∠ADF=FDC,從而得到∠F=BEF,然后根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可證明;
②連接BG,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠F=BEF=45°,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BG=FGF=CBG=45°,然后利用邊角邊證明AFGCBG全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=CG,再求出∠GAC+ACG=90°,然后求出∠AGC=90°,然后根據(jù)等腰直角三角形的定義判斷即可;
2)連接BG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BFG是等邊三角形,再根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)求出AF=AD,平行四邊形的對(duì)角相等求出∠ABC=ADC=60°,然后求出∠CBG=60°,從而得到∠AFG=CBG,然后利用邊角邊證明AFGCBG全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=CG,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠FAG=BCG,然后求出∠GAC+ACG=120°,再求出∠AGC=60°,然后根據(jù)等邊三角形的判定方法判定即可.

試題解析:1)證明:①∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠ADC=90°,

∴四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°ABDC,ADBC,
∴∠F=FDCBEF=ADF,
DF是∠ADC的平分線,∴∠ADF=FDC,∴∠F=BEF,
BF=BE
②△AGC是等腰直角三角形.
理由如下:連接BG,


由①知,BF=BEFBC=90°,∴∠F=BEF=45°,
GEF的中點(diǎn),∴BG=FGF=CBG=45°,
∵∠FAD=90°,AF=AD,又∵AD=BC,AF=BC,
AFGCBG中, ∴△AFG≌△CBG,
AG=CG,FAG=BCG
又∵∠FAG+GAC+ACB=90°,∴∠BCG+GAC+ACB=90°,

即∠GAC+ACG=90°∴∠AGC=90°,∴△AGC是等腰直角三角形;

(2)AGC是等邊三角形.

證明:連接BGFB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°FG,


∴△BFG是等邊三角形,
FG=BGFBG=60°,
又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠ADC=60°
∴∠ABC=ADC=60°
∴∠CBG=180°-FBG-ABC=180°-60°-60°=60°,
∴∠AFG=CBG,
DF是∠ADC的平分線,
∴∠ADF=FDC
ABDC,
∴∠AFD=FDC,
∴∠AFD=ADF
AF=AD,
AFGCBG中,

∴△AFG≌△CBGSAS),
AG=CG,FAG=BCG
ABC中,∠GAC+ACG=ACB+BCG+GAC=ACB+BAG+GAC=ACB+BAC=180°-60°=120°,
∴∠AGC=180°-GAC+ACG=180°-120°=60°,
∴△AGC是等邊三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】20165月某日,重慶部分區(qū)縣的最高溫度如下表所示:

地區(qū)

合川

永川

江津

涪陵

豐都

梁平

云陽

黔江

溫度(℃

25

26

29

26

24

28

28

29

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是__________

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(1)請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出AB,C三點(diǎn)的大致位置;

(2)化簡(jiǎn)|ab|+|ba+c|﹣|bc|.

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(1)a= ,b= ;并在數(shù)軸上畫出AB兩點(diǎn);

(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度單位的速度向x軸正半軸運(yùn)動(dòng),求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí),點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離的2倍;

(3)數(shù)軸上還有一點(diǎn)C的坐標(biāo)為30,若點(diǎn)PQ同時(shí)從點(diǎn)A和點(diǎn)B出發(fā),分別以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),P到達(dá)C點(diǎn)后,再立即以同樣的速度返回,運(yùn)動(dòng)的終點(diǎn)A,求點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí),P,Q兩點(diǎn)之間的距離為4,并求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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2)如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤(rùn)不低于4000元,且每天的總成本不超過7000元,那么銷售單價(jià)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?(每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量)

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