Question

【題目】如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長，交AD于點E，交BA的延長線于點F．

（1）求證：△APD≌△CPD；

（2）求證：△APE∽△FPA；

（3）若PE＝2，EF＝6，求PC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）PC＝4

【解析】

（1）利用菱形的性質(zhì)結(jié)合條件可證明△APD≌△CPD；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DAP＝∠DCP，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCP＝∠F，等量代換得到∠DAP＝∠F，可得△APE∽△FPA；

（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，于是得到PA2＝PEPF，等量代換即可得到PC2＝PEPF，求得PC＝4．

（1）證明：∵四邊形ABCD菱形，

∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，

在△APD和△CPD中，

，

∴△APD≌△CPD（SAS）；

（2）∵△APD≌△CPD，

∴∠DAP＝∠DCP，

∵CD∥BF，

∴∠DCP＝∠F，

∴∠DAP＝∠F，

又∵∠APE＝∠FPA，

∴△APE∽△FPA，

（3）∵△APE∽△FPA

∴，

∴PA2＝PEPF，

∵△APD≌△CPD，

∴PA＝PC，

∴PC2＝PEPF，

∵PE＝2，EF＝6，

∴PF＝PE+EF＝2+6＝8，

∴PC＝4．