【題目】先閱讀下列材料,然后解后面的問題.

材料:一個三位自然數(shù) (百位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,個位數(shù)字為c),若滿足a+c=b,則稱這個三位數(shù)為歡喜數(shù),并規(guī)定F=ac.如374,因為它的百位上數(shù)字3與個位數(shù)字4之和等于十位上的數(shù)字7,所以374歡喜數(shù),F374=3×4=12

1)對于歡喜數(shù),若滿足b能被9整除,求證:歡喜數(shù)能被99整除;

2)已知有兩個十位數(shù)字相同的歡喜數(shù)”mnmn),若Fm﹣Fn=3,求m﹣n的值.

【答案】(1)詳見解析;(2)99297

【解析】試題分析:(1)首先由題意可得a+c=b,將歡喜數(shù)展開,因為要證明歡喜數(shù)能被99整除,所以將展開式中100a拆成99a+a,這樣展開式中出現(xiàn)了a+c,將a+cb替代,整理出最終結(jié)果即可;2首先設(shè)出兩個歡喜數(shù)m、n表示出Fm)、Fn)代入FmFn=3中,將式子變形分析得出最終結(jié)果即可.

試題解析:

1)證明:∵為歡喜數(shù),

a+c=b

=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b,b能被9整除,

11b能被99整除,99a能被99整除,

歡喜數(shù)能被99整除;

2)設(shè)m=,n=(且a1a2),

FmFn=a1c1a2c2=a1ba1a2ba2=a1a2)(ba1a2=3,a1、a2、b均為整數(shù),

a1a2=1a1a2=3

mn=100a1a2a1a2=99a1a2),

mn=99mn=297

∴若FmFn=3,則mn的值為99297

練習(xí)冊系列答案
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