【題目】已知:如圖,AB為⊙O的直徑,C是BA延長線上一點,CP切⊙O于P,弦PD⊥AB于E,過點B作BQ⊥CP于Q,交⊙O于H.

(1)如圖1,求證:PQ=PE;

(2)如圖2,G是圓上一點,∠GAB=30,連接AG交PD于F,連接BF,tan∠BFE=,求∠C的度數(shù);

(3)如圖3,在(2)的條件下,PD=6,連接QG交BC于點M,求QM的長.

【答案】1證明見解析230°(3) QM=

【解析】試題分析

(1)連接OP,PB,由已知易證∠OBP=∠OPB=∠QBP,從而可得BP平分∠OBQ,結合BQ⊥CP于點Q,PE⊥AB于點E即可由角平分線的性質得到PQ=PE;

2)如下圖2,連接OP,則由已知易得∠CPO=PEC=90°,由此可得∠C=OPE,EF=x,則由∠GAB=30°,AEF=90°可得AE= ,在RtBEFtanBFE=可得BE= 從而可得AB= ,OP=OA= ,結合AE= 可得OE= 這樣即可得到sinOPE=,由此可得OPE=30°,C=30°;

3如下圖3,連接BG,過點OOKHB于點K,結合BQCP,OPQ=90°,可得四邊形POKQ為矩形.由此可得QK=PO,OKCQ從而可得∠KOB=C=30°;由已知易證PE=,RtEPO中結合(2)可解得PO=6,由此可得OB=QK=6;在RtKOB中可解得KB=3,由此可得QB=9;在△ABG中由已知條件可得BG=6,ABG=60°;過點GGNQBQB的延長線于點N,由∠ABG=CBQ=60°,可得∠GBN=60°,從而可得解得GN=BN=3,由此可得QN=12,則在RtBGN中可解得QG=,ABG=CBQ=60°可知BQGBM是角平分線,由此可得QMGM=QBGB=96由此即可求得QM的長了.

試題解析

1如下圖1,連接OP,PB,∵CP⊙OP,

∴OP⊥CP于點P,

∵BQ⊥CP于點Q,

∴OP∥BQ,

∴∠OPB=∠QBP

∵OP=OB,

∴∠OPB=∠OBP,

∴∠QBP=∠OBP,

又∵PE⊥AB于點E,

∴PQ=PE;

(2)如下圖2,連接,CPOP,

∵PD⊥AB

在Rt中,∠GAB=30°

EF=x,則

Rt中,tanBFE=3

∴在RtPEO中,

30°

(3)如下圖3,連接BG,過點OK,又BQCP,

四邊形POKQ為矩形,

∴QK=PO,OK//CQ,

30°

∵⊙O PDABE ,PD=6 ,ABO的直徑,

PE= PD= 3,

根據(2),RtEPO, ,

∴OB=QK=PO=6,

Rt,

,

∴QB=9

△ABG,AB⊙O的直徑,

AGB=90°,

BAG=30°

BG=6, ABG=60°

過點GGN⊥QBQB的延長線于點N,則∠N=90°∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°,

BN=BQ·cosGBQ=3,GN=BQ·sinGBQ=

∴QN=QB+BN=12,

RtQGN,QG=,

∵∠ABG=∠CBQ=60°

∴BM是△BQG的角平分線,

QMGM=QBGB=96,

QM=.

練習冊系列答案
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A. 8 B. 10 C. 12 D. 10

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