【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),將線段BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD.
(1)如圖1,直接寫出∠ABD的大小(用含α的式子表示);
(2)如圖2,若∠BCE=150°,∠ABE=60°, ∠DEC=45°,求α的值;
(3)如圖3,若∠BCE=150°,∠ABE=60°,判斷△ABE的形狀并加以證明.
【答案】(1)30-α;(2)α=30°(3)△ABE是等邊三角形,理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù),即可求出答案;
(2)連接AD,CD,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證△BCD為等邊三角形,根據(jù)SSS證明△ABD≌△ACD,可得∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC;根據(jù)AAS證明△ABD≌△EBC(AAS),可得∠EBC=∠ABD=30-α;然后再證明△DEC為等腰直角三角形,得到DC=CE=BC,根據(jù)∠EBC=30-α=15可求出α的值;
(3)由△ABD≌△EBC和∠ABE=60°,可證△ABE是等邊三角形.
解:(1)∵AB=AC,∠A=α,
∴∠ABC=∠ACB= (180-∠A)=90-α,
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC,∠DBC=60°,
∴∠ABD=30-α,
故答案為30-α;
(2)如圖2,連接AD,CD,
∵線段BC繞B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD,
則BC=BD,∠DBC=60°,
∵∠ABE=60°,
∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-α,且△BCD為等邊三角形,
∴BD=CD,∠BDC=60°.
在△ABD與△ACD中,
,
∴△ABD≌△ACD,
∴∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC,
∵∠BDC=60°,
∴∠ADB=∠ADC=150°,
∴∠ADB=∠BCE.
∵∠ABD=60°-DBE, ∠CBE=60°-∠DBE,
∴∠ABD=∠EBC.
在△ABD和△EBC中
,
∴△ABD≌△EBC(AAS),
∴∠EBC=∠ABD=30-α.
∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,
∴∠DCE=150°-60°=90°,
∵∠DEC=45°,
∴△DEC為等腰直角三角形,
∴DC=CE=BC,
∵∠BCE=150°,
∴∠EBC= (180°-150°)=15°,
∵∠EBC=30-α=15,
∴α=30°.
(3)△ABE是等邊三角形,
由(2)知△ABD≌△EBC
∴AB=BE,
∵∠ABE=60°,
∴△ABE是等邊三角形;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在不透明的口袋中,有四只形狀、大小、質(zhì)地完全相同的小球,四只小球上分別標(biāo)有數(shù)字,,,、小明先從盒子里隨機(jī)取出一只小球(不放回),記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo);再由小華隨機(jī)取出一只小球,記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo).
用列表法或畫樹狀圖,表示所有這些點(diǎn)的坐標(biāo);
小剛為小明、小華兩人設(shè)計了一個游戲:當(dāng)上述中的點(diǎn)在正比例函數(shù)圖象上方時小明獲勝,否則小華獲勝、你認(rèn)為這個游戲公平嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于點(diǎn)D,CE⊥AB于點(diǎn)E,CE和BD交于點(diǎn)O,AO的延長線交BC于點(diǎn)F,則圖中全等的三角形有( )
A.8對B.7對C.6對D.5對
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】仔細(xì)閱讀下面例題,解答問題
例題:已知二次三項(xiàng)式x2﹣4x+m有一個因式是(x+3),求另一個因式以及m的值.
解:設(shè)另一個因式為(x+n),得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n),
則x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴
解得:n=﹣7,m=﹣21.
∴另一個因式為(x﹣7),m的值為﹣21.
問題:
(1)若二次三項(xiàng)式x2﹣5x+6可分解為(x﹣2)(x+a),則a= ;
(2)若二次三項(xiàng)式2x2+bx﹣5可分解為(2x﹣1)(x+5),則b= ;
(3)仿照以上方法解答下面問題:若二次三項(xiàng)式2x2+3x﹣k有一個因式是(2x﹣5),求另一個因式以及k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Δ中,∠=,在同一平面內(nèi),現(xiàn)將Δ圍繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)落在點(diǎn),點(diǎn)落在點(diǎn),如果∥那么∠=______
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面上將邊長相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一邊重合并疊在一起,則∠3+∠1-∠2= _______度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=80,BC=60, 點(diǎn)D 從點(diǎn) B 出發(fā),在線段 BA 上以每秒 4 個單位長度的速度向終點(diǎn)A 運(yùn)動,連結(jié)CD. 設(shè)點(diǎn)D 運(yùn)動的時間為 t 秒.
(1)用含 t 的代數(shù)式表示 BD 的長.
(2)求AB 的長及 AB 邊上的高.
(3)當(dāng)△BCD 為等腰三角形時,直接寫出 t 的值.
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