【題目】如圖,直線y=x和直線y=﹣x+5相交于點M,直線PQ⊥x軸,分別交直線y=﹣x+5和直線y=x于點P、Q,點R是y軸上一點,若△PQR為等腰直角三角形.求點R的坐標(biāo).
【答案】點R的坐標(biāo)是(0, )或(0,)或(0,)或(0,5)或(0,0).
【解析】
首先求出PQ的長,分五種情況進行討論:①如圖1,當(dāng)PR=PQ時,△PQR為等腰直角三角形,根據(jù)PQ=PR列方程求得;②如圖2,當(dāng)RQ=PQ時,△PQR為等腰直角三角形,根據(jù)PQ=RQ列方程求得;③如圖3,當(dāng)∠PRQ=90°時,△PQR為等腰直角三角形,根據(jù)2RB=PQ列方程求得;④⑤P在M的右側(cè),同理可得R的坐標(biāo).
解:設(shè)直線PQ的解析式為:x=h,
∴P(h,﹣h+5)、Q(h,h),
∴PQ=﹣h+5﹣h=5﹣2h,
分三種情況:
①如圖1,過P作PR⊥y軸于R,連接RQ,
當(dāng)PR=PQ時,△PQR為等腰直角三角形,
∴h=5﹣2h,
h=,
∴﹣h+5=﹣+5=,
∴R(0,);
②如圖2,過Q作QR⊥y軸于R,連接RP,
當(dāng)RQ=PQ時,△PQR為等腰直角三角形,
∴h=5﹣2h,
h=,
∴R(0,);
③如圖3,作線段PQ的中垂線l,交y軸于R,交PQ于B,連接PR、RQ,則PR=RQ,
當(dāng)∠PRQ=90°時,△PQR為等腰直角三角形,
∴∠PRB=∠QRB=45°,
∴△PBR和△BRQ都是等腰直角三角形,
∴2RB=2BQ=PQ,
則2h=5﹣2h,
h=,
∴OR=+(5﹣2h)=+﹣=,
∴R(0,);
④如圖4,P在交點M的右側(cè)時,QR=QP,
則h=h﹣(﹣h+5),
h=5,
∴R(0,5),
如圖5,P在交點M的右側(cè)時,QP=RP,
同理可得R(0,0),此時R與原點重合,
綜上所述,若△PQR為等腰直角三角形.點R的坐標(biāo)是(0,)或(0,)或(0,)或(0,5)或(0,0).
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【題目】在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都為1個單位長度,△ABC的三個頂點的位置如圖所示,現(xiàn)將△ABC平移后得△DEF,使點A的對應(yīng)點為點D,點B的對應(yīng)點為點E.
(1)畫出△DEF;
(2)連接AD、BE,則線段AD與BE的關(guān)系是 ;
(3)求△DEF的面積.
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【題目】如圖,點B、E分別在AC、DF上,AF分別交BD、CE于點M、N,∠A=∠F,∠1=∠2.
(1)求證:四邊形BCED是平行四邊形;
(2)已知DE=2,連接BN,若BN平分∠DBC,求CN的長.
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【題目】在正方形ABCD中,對角線BD所在的直線上有兩點E、F滿足BE=DF,連接AE、AF、CE、CF,如圖所示.
(1)求證:△ABE≌△ADF;
(2)試判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.
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【題目】將一副三角板中的兩塊直角三角形的直角頂點0按圖1方式疊放在一起(其中∠C=30°,∠CDO=60°;∠OAB=∠OBA=45°).△COD繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)一周,旋轉(zhuǎn)的速度為每秒10°,若旋轉(zhuǎn)時間為t秒,請回答下列問題:(請直接寫出答案)
(1)當(dāng)0<t<9時(如圖2),∠BOC與∠AOD有何數(shù)量關(guān)系
(2)當(dāng)t為何值時,邊OA∥CD?
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【題目】在矩形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,AE平分∠BAD交BC于點E,若∠CAE=15°.
(1)求證:△AOB是等邊三角形;
(2)求∠BOE的度數(shù).
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【題目】(12分)某校八年級學(xué)生小麗、小強和小紅到某超市參加了社會實踐活動,在活動中他們參與了某種水果的銷售工作,已知該水果的進價為8元/千克,下面是他們在活動結(jié)束后的對話。
(1)求每天的銷售量y(千克)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式。(6分)
(2)該超市銷售這種水果每天獲取的利潤為1040元,那么銷售單價為多少元?(6分)
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【題目】某校八年級學(xué)生全部參加“初二生物地理會考”,從中抽取了部分學(xué)生的生物考試成績,將他們的成績進行統(tǒng)計后分為A,B,C,D四等級,并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成如下的統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題(說明:測試成績在總?cè)藬?shù)的前30%考生為A等級,前30%至前70%為B等級,前70%至前90%為C等級,90%以后為D等級)
(1)抽取了 名學(xué)生成績;
(2)請把頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(3)扇形統(tǒng)計圖中A等級所在的扇形的圓心角度數(shù)是 ;
(4)若測試成績在總?cè)藬?shù)的前90%為合格,該校初二年級有800名學(xué)生,求全年級生物合格的學(xué)生共約多少人.
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【題目】如圖,已知AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,BD=DG.
下列結(jié)論:(1)DE=DF;(2)∠B=∠DGF; (3)AB<AF+FG;(4)若△ABD和△ADG的面積分別是50和38,則△DFG的面積是8.其中一定正確的有( 。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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