Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．

（1）觀察猜想
圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 ， 位置關(guān)系是；
（2）探究證明
把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；

（3）拓展延伸
把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）PM=PN；PM⊥PN
（2）

解：由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，

同（1）的方法，利用三角形的中位線得，PN= BD，PM= CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM∥CE，

∴∠DPM=∠DCE，

同（1）的方法得，PN∥BD，

∴∠PNC=∠DBC，

∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC

=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC

=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC=90°，

∴∠ACB+∠ABC=90°，

∴∠MPN=90°，

∴△PMN是等腰直角三角形

（3）

解：如圖2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，

∴MN最大時(shí)，△PMN的面積最大，

∴DE∥BC且DE在頂點(diǎn)A上面，

∴MN最大=AM+AN，

連接AM，AN，

在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，

∴AM=2 ，

在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5 ，

∴MN最大=2 +5 =7 ，

∴S△PMN最大= PM2= × MN2= ×（7 ）2= ．

【解析】解：（1）∵點(diǎn)P，N是BC，CD的中點(diǎn)，
∴PN∥BD，PN= BD，
∵點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)，
∴PM∥CE，PM= CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案為：PM=PN，PM⊥PN，
（1）利用三角形的中位線得出PM= CE，PN= BD，進(jìn)而判斷出BD=CE，即可得出結(jié)論，另為利用三角形的中位線得出平行線即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM= BD，PN= BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出結(jié)論；（3）先判斷出MN最大時(shí)，△PMN的面積最大，進(jìn)而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面積公式即可得出結(jié)論．