Question

【題目】已知：等邊中．

（1）如圖1，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，滿(mǎn)足，求的值．

（2）如圖2，點(diǎn)在邊上（為非中點(diǎn)，不與、重合），點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上且，求證：．

（3）如圖3，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，滿(mǎn)足，求的值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）先證明，與均為直角三角形，再根據(jù)直角三角形中所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，證明BM=2BN，AB=2BM，最后轉(zhuǎn)化結(jié)論可得出BN與AN之間的數(shù)量關(guān)系即得；

（2）過(guò)點(diǎn)M作ME∥BC交AC于E，先證明AM=ME，再證明與全等，最后轉(zhuǎn)化邊即得；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PM∥BC交AB于M，先證明M是AB的中點(diǎn)，再證明與全等，最后轉(zhuǎn)化邊即得．

（1）∵為等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)

∴AM平分∠BAC，，

∴，

∵

∴，

∴

∴

∴在中，

在中，

∴

∴即．

（2）如下圖：

過(guò)點(diǎn)M作ME∥BC交AC于E

∴∠CME=∠MCB，∠AEM=∠ACB

∵是等邊三角形

∴∠A=∠ABC=∠ACB=

∴，

∴，

∴AM=ME

∵

∴∠CME=∠MNB，MN=MC

∴在與中

∴

∴

∴

（3）如下圖：

過(guò)點(diǎn)P作PM∥BC交AB于M

∴

∵是等邊三角形

∴∠A=∠ABC=∠ACB=，

∴

∴，，

∴是等邊三角形，

∴

∵P點(diǎn)是AC的中點(diǎn)

∴

∴

在與中

∴

∴

∴

∴．