【題目】在平面直角坐標系中,拋物線與軸的兩個交點分別為A(-3,0)、B(1,0),與y軸交于點D(0,3),過頂點C作CH⊥x軸于點H.
(1)求拋物線的解析式和頂點C的坐標;
(2)連結AD、CD,若點E為拋物線上一動點(點E與頂點C不重合),當△ADE與△ACD面積相等時,求點E的坐標;
(3)若點P為拋物線上一動點(點P與頂點C不重合),過點P向CD所在的直線作垂線,垂足為點Q,以P、C、Q為頂點的三角形與△ACH相似時,求點P的坐標.
【答案】(1),(-1,4) (2)(-2,3),,
(3)(-4,-5),(,)
【解析】
(1)將A(-3,0)、B(1,0)、D(0,3),代入y=ax2+bx+3求出即可;(2)求出直線AD的解析式,分別過點C、H作AD的平行線,與拋物線交于點E,利用△ADE與△ACD面積相等,得出直線EC和直線EH的解析式,聯(lián)立出方程組求解即可;(3) (3)分兩種情況討論:①點P在對稱軸左側;②點P在對稱軸右側.
(1)設拋物線的解析式為,
∵拋物線過點A(-3,0),B(1,0),D(0,3),
∴,解得,a=-1,b=-2,c=3,
∴拋物線解析式為,頂點C(-1,4);
(2)如圖1,∵A(-3,0),D(0,3),
∴直線AD的解析式為y=x+3,
設直線AD與CH交點為F,則點F的坐標為(-1,2)
∴CF=FH,
分別過點C、H作AD的平行線,與拋物線交于點E,
由平行間距離處處相等,平行線分線段成比例可知,△ADE與△ACD面積相等,
∴直線EC的解析式為y=x+5,
直線EH的解析式為y=x+1,
分別與拋物線解析式聯(lián)立,得,,
解得點E坐標為(-2,3),,;
(3)①若點P在對稱軸左側(如圖2),只能是△CPQ∽△ACH,得∠PCQ=∠CAH,
∴,
分別過點C、P作x軸的平行線,過點Q作y軸的平行線,交點為M和N,
由△CQM∽△QPN,
得=2,
∵∠MCQ=45°,
設CM=m,則MQ=m,PN=QN=2m,MN=3m,
∴P點坐標為(-m-1,4-3m),
將點P坐標代入拋物線解析式,得,
解得m=3,或m=0(與點C重合,舍去)
∴P點坐標為(-4,-5);
②若點P在對稱軸右側(如圖①),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH,
∴,
延長CD交x軸于M,∴M(3,0)
過點M作CM垂線,交CP延長線于點F,作FNx軸于點N,
∴,
∵∠MCH=45°,CH=MH=4
∴MN=FN=2,
∴F點坐標為(5,2),
∴直線CF的解析式為y=,
聯(lián)立拋物線解析式,得,解得點P坐標為(,),
綜上所得,符合條件的P點坐標為(-4,-5),(,).
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【題目】如圖,把一個圓柱的底面平均分成若干個扇形,然后切開拼成一個近似的長方體,下列關于兩個幾何體的結論:①表面積不變;②表面積變大;③體積不變;④體積變大.其中結論正確的序號為________.
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【題目】如圖,,點在邊上,,點為邊上一動點,連接,與關于所在直線對稱,點,分別為,的中點,連接并延長交所在直線于點,連接.當為直角三角形時,的長為_____.
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【題目】已知二次函數(shù)()圖象的對稱軸為直線,部分圖象如圖所示,下列結論中:①;②;③;④若為任意實數(shù),則有;⑤當圖象經過點時,方程的兩根為,,則,其中正確的結論有________.
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【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為8,點E是正方形內部一點,連接BE,CE,且∠ABE=∠BCE,點P是AB邊上一動點,連接PD,PE,則PD+PE的長度最小值為_____.
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【題目】圖1,圖2分別是10×6的網格,網格中每個小正方形的邊長均為1,每個網格中畫有一個平行四邊形,請分別在圖1,圖2中各畫一條線段,各圖均滿足以下要求:
(1)線段的一個端點為平行四邊形的頂點,另一個端點在平行四邊形一邊的格點上(每個小正方形的頂點均為格點);
(2)將平行四邊形分割成兩個圖形,都要求其中一個是軸對稱圖形,圖1,圖2的分法不相同.
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【題目】體育理化考試前夕,九(2)班組織了體育理化考試模擬(體育+理化=100分),模擬測試后相關負責人對成績進行了統(tǒng)計,制作如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖,請根據表中信息解答問題:
分數(shù)段(表示分數(shù)) | 頻數(shù) | 頻率 |
5 | 0.1 | |
5 | ||
0.4 | ||
15 | 0.3 | |
5 | 0.1 |
(1)表中________,________,并補全直方圖;
(2)若用扇形統(tǒng)計圖描述此成績分布情況,則分數(shù)段所對應扇形的圓心角度數(shù)是_____;
(3)若該校九年級共950名學生,請估計該年級分數(shù)在的學生有多少人?
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【題目】某企業(yè)為了解員工安全生產知識掌握情況,隨機抽取了部分員工進行安全生產知識測試,測試試卷滿分100分.測試成績按A、B、C、D四個等級進行統(tǒng)計,并將統(tǒng)計結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.(說明:測試成績取整數(shù),A級:90分~100分;B級:75分~89分;C級:60分~74分;D級:60分以下)
請解答下列問題:
(1)該企業(yè)員工中參加本次安全生產知識測試共有 人;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該企業(yè)共有員工800人,試估計該企業(yè)員工中對安全生產知識的掌握能達到A級的人數(shù).
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC、BC的長為方程x2﹣14x+a=0的兩根,且AC﹣BC=2,D為AB的中點.
(1)求a的值.
(2)動點P從點A出發(fā),以每秒2個單位的速度,沿A→D→C的路線向點C運動;動點Q從點B出發(fā),以每秒3個單位的速度,沿B→C的路線向點C運動,且點Q每運動1秒,就停止2秒,然后再運動1秒…若點P、Q同時出發(fā),當其中有一點到達終點時整個運動隨之結束.設運動時間為t秒.
①在整個運動過程中,設△PCQ的面積為S,試求S與t之間的函數(shù)關系式;并指出自變量t的取值范圍;
②是否存在這樣的t,使得△PCQ為直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的t的值.
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