Question

【題目】定義：如果一條直線與一條曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且曲線位于直線的同旁，稱之為直線與曲線相切，這條直線叫做曲線的切線，直線與曲線的唯一交點(diǎn)叫做切點(diǎn)．

（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，5為半徑作圓，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，求過點(diǎn)的圓 的切線的解析式；

（2）若拋物線（）與直線（）相切于點(diǎn)，求直線的解析式；

（3）若函數(shù)的圖象與直線相切，且當(dāng)時(shí)，的最小值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）1或

【解析】

（1）連接，由、可求，即．因?yàn)?/span>過點(diǎn)的切線，故有，再加公共角，可證，由對(duì)應(yīng)邊成比例可求的長，進(jìn)而得點(diǎn)坐標(biāo)，即可求直線解析式．

（2）分別把點(diǎn)代入拋物線和直線解析式，求得拋物線解析式為，直線解析式可消去得．由于直線與拋物線相切（只有一個(gè)交點(diǎn)），故聯(lián)立解析式得到關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即△，即求得的值．

（3）因?yàn)槎�次函�?shù)圖象與直線相切，所以把二次函數(shù)和直線解析式聯(lián)立，得到關(guān)于的方程有兩個(gè)相等是實(shí)數(shù)根，即△，整理得式子，可看作關(guān)于的二次函數(shù)，對(duì)應(yīng)拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線．分類討論對(duì)稱軸在左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況，畫出圖形得：①當(dāng)對(duì)稱軸在左側(cè)即時(shí)，由圖象可知時(shí)隨的增大而增大，所以時(shí)取得最小值，把、代入得到關(guān)于的方程，方程無解；②當(dāng)對(duì)稱軸在范圍內(nèi)時(shí)，時(shí)即取得最小值，得方程，解得：；③當(dāng)對(duì)稱軸在2的右側(cè)即時(shí)，由圖象可知時(shí)隨的增大而減小，所以時(shí)取得最小值，把、代入即求得的值．

解：（1）如圖1，連接，記過點(diǎn)的切線交軸于點(diǎn)

，

，

，

設(shè)直線解析式為：

，解得：

過點(diǎn)的的切線的解析式為;

（2）拋物線經(jīng)過點(diǎn)

，解得：

拋物線解析式：

直線經(jīng)過點(diǎn)

，可得：

直線解析式為：

直線與拋物線相切

關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

方程整理得：

△

解得：

直線解析式為；

（3）函數(shù)的圖象與直線相切

關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

方程整理得：

△

整理得：，可看作關(guān)于的二次函數(shù)，

對(duì)應(yīng)拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線

當(dāng)時(shí)，的最小值為

①如圖2，當(dāng)時(shí)，在時(shí)隨的增大而增大

時(shí)，取得最小值

，方程無解；

②如圖3，當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得最小值

，解得：；

③如圖4，當(dāng)時(shí)，在時(shí)隨的增大而減小

時(shí)，取得最小值

，解得：，（舍去）

綜上所述，的值為1或．