【題目】已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個(gè)公共點(diǎn)M(1,0),且a<b.
(1)求拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);
(2)說明直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn);
(3)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為N.
①若-1≤a≤一,求線段MN長度的取值范圍;
②求△QMN面積的最小值.
【答案】(1)(-,-)(2)證明見解析(3)
【解析】分析: (1)把M點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得到b與a的關(guān)系,可用a表示出拋物線解析式,化為頂點(diǎn)式可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)由直線解析式可先求得m的值,聯(lián)立直線與拋物線解析式,消去y,可得到關(guān)于x的一元二次方程,再判斷其判別式大于0即可;
(3)①由(2)的方程,可求得N點(diǎn)坐標(biāo),利用勾股定理可求得MN2,利用二次函數(shù)性質(zhì)可求得MN長度的取值范圍;②設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線與點(diǎn)E,則可求得E點(diǎn)坐標(biāo),利用S△QMN=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的面積,再整理成關(guān)于a的一元二次方程,利用判別式可得其面積的取值范圍,可求得答案
詳解:
(1)∵M(jìn)(1,0),
∴b=-2a,
∴y=ax2+ax+b
=ax2+ax-2a
= a(x+)2-
∴頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-,-).
(2)由直線y=2x+m經(jīng)過點(diǎn)M(1,0),可得m=-2.
∴y=2x-2
∴ax2+(a-2)x-2a+2=0
∴△=(a-2)2-4×a×(-2a+2)=(3a-2)2
∵2a +b=0,a<b
∴a<0
∴△>0
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∴直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).
(3)把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,
即x2+(1- )x-2+=0,
∴(x-1)(x+2-)=0,
解得x1=1,x2 =-2,
∴點(diǎn)N(-2,-6).
(i)根據(jù)勾股定理得,
MN2=[(-2)-1]2+(-6)2=20()2,
∵-1≤a≤-,
∴-2≤ ≤-1,
∴<0,
∴MN=2 ( )=3 ,
∴5≤MN≤7.
(ii)作直線x=- 交直線y=2x-2于點(diǎn)E,
把x=-代入y=2x-2得,y=-3,
即E(-,-3),
∵M(jìn)(1,0),N(-2,-6),且由(2)知a<0,
∴S△QMN =S△QEN+S△QEM= = ,
即27a2+(8S-54)a+24=0,
∵關(guān)于a的方程有實(shí)數(shù)根,
∴△=(8S-54)2-4×27×24≥0,
即(8S-54)2≥(36 )2,
又∵a<0,
∴S=> ,
∴8S-54>0,
∴8S-54≥36,即S≥ ,
當(dāng)S=時(shí),由方程可得a=- 滿足題意.
∴△QMN面積的最小值為.
點(diǎn)睛: 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及函數(shù)圖象的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、根的判別式、勾股定理、三角形的面積等知識(shí).在(1)中由M的坐標(biāo)得到b與a的關(guān)系是解題的關(guān)鍵,在(2)中聯(lián)立兩函數(shù)解析式,得到關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵,在(3)中求得N點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵,在最后一小題中用a表示出△QMN的面積是解題的關(guān)鍵.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性較強(qiáng),難度較大.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上三點(diǎn)A,O,B表示的數(shù)分別為6,0,-4,動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā),以每秒6個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng).
(1)當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離相等時(shí),點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是 ;
(2)另一動(dòng)點(diǎn)R從B出發(fā),以每秒4個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)P、R同時(shí)出發(fā),問點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間追上點(diǎn)R?
(3)若M為AP的中點(diǎn),N為PB的中點(diǎn),點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中,線段MN的長度是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)你說明理由;若不變,請(qǐng)你畫出圖形,并求出線段MN的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象如圖所示,對(duì)稱軸是x=-1.下列結(jié)論:①ab>0;②b2>4ac;③a-b+2c<0;④8a+c<0.其中正確的是( )
A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D,以AD為半徑的⊙A分別與邊AC、AB交于點(diǎn)E和點(diǎn)F,DE∥AB,延長CA交⊙A于點(diǎn)G,連接BG.
(1)求證:BG是⊙A的切線;
(2)若∠ACB=30°,AD=3,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在CD、BC上,且BF=CE,連接BE、AF相交于點(diǎn)G,則下列結(jié)論不正確的是( )
A.BE=AF B.∠DAF=∠BEC C.∠AFB+∠BEC=90° D.AG⊥BE
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測站,AB=2km,從A測得船C在北偏東45°的方向,從B測得船C在北偏東22.5°的方向,則船C離海岸線l的距離(即CD的長)為_____km(精確到0.1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)所示:等邊△ABC中,線段AD為其內(nèi)角角平分線,過D點(diǎn)的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1.
(1)請(qǐng)你探究: ,是否都成立?
(2)請(qǐng)你繼續(xù)探究:若△ABC為任意三角形,線段AD為其內(nèi)角角平分線,請(qǐng)問一定成立嗎?并證明你的判斷.
(3)如圖(2)所示Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=8,AB= ,DE∥AC交AB于點(diǎn)E,試求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將兩塊全等的三角板如圖①擺放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.
(1)將圖①中的△A1B1C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖②,點(diǎn)P1是A1C與AB的交點(diǎn),點(diǎn)Q是A1B1與BC的交點(diǎn),求證:CP1=CQ;
(2)在圖②中,若AP1=2,則CQ等于多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校團(tuán)委組織了一次全校名學(xué)生參加的“漢字書寫”大賽,為了解本次大賽的成績,校團(tuán)委隨機(jī)抽取了其中名學(xué)生的成績(成績取整數(shù),總分分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)_____,______;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)直方圖;
(3)這名學(xué)生成績的中位數(shù)會(huì)落在______分?jǐn)?shù)段;
(4)若成績在分以上(包括分)為“優(yōu)”等,請(qǐng)你估計(jì)該校參加本次比賽的名學(xué)生中成績?yōu)?/span>“優(yōu)”等的有多少人。
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