Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），點P是直線BC下方拋物線上的任意一點．

（1）求這個二次函數y=x2+bx+c的解析式．

（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP′C，如果四邊形POP′C為菱形,求點P的坐標．

（3）如果點P在運動過程中，能使得以P、C、B為頂點的三角形與△AOC相似，請求出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（，-）（3）P、C、B為頂點的三角形與△AOC相似，此時點P的坐標（1，﹣4）

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據菱形的對角線互相垂直平分，可得P點的縱坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；

（3）分類討論：①當∠PCB＝90°，根據互相垂直的兩條直線的一次項系數互為負倒數，可得BP的解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得P點坐標；根據勾股定理，可得BC，CP的長，根據兩組對邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得答案；

②當∠BPC＝90°時，根據相似三角形的性質，可得P點的坐標，根據兩組對邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得答案．

（1）將B、C點代入函數解析式，得：，解得：，這個二次函數y＝x2+bx+c的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵四邊形POP′C為菱形，∴OC與PP′互相垂直平分，∴yP，即x2﹣2x﹣3，解得：x1，x2（舍），P（）；

（3）∵∠PBC＜90°，∴分兩種情況討論：

①如圖1，當∠PCB＝90°時，過P作PH⊥y軸于點H，BC的解析式為y＝x﹣3，CP的解析式為y＝﹣x﹣3，設點P的坐標為（m，﹣3﹣m），將點P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）；

AO＝1，OC＝3，CB，CP，此時3，△AOC∽△PCB；

②如圖2，當∠BPC＝90°時，作PH⊥y軸于H，作BD⊥PH于D．

∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴．設點P的坐標為（m，m2﹣2m﹣3），則PH=m，HC=－（m2﹣2m﹣3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2﹣2m﹣3），PD=3－m，∴，∴，解得：m或（舍去）．當m時，m2﹣2m﹣3=．

∵△PHC∽△BDP，∴== 3，以P、C、B為頂點的三角形與△AOC不相似．

綜上所述：P、C、B為頂點的三角形與△AOC相似，此時點P的坐標（1，﹣4）．