Question

【題目】如圖1，P為∠MON平分線OC上一點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)的∠APB兩邊分別與射線OM和ON交于A、B兩點(diǎn)，如果∠APB在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足OAOB=OP2 ， 我們就把∠APB叫做∠MON的關(guān)聯(lián)角．

（1）如圖2，P為∠MON平分線OC上一點(diǎn)，過(guò)P作PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，那么∠APB________∠MON的關(guān)聯(lián)角（填“是”或“不是”）．

（2）①如圖3，如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的關(guān)聯(lián)角，連接AB，求△AOB的面積和∠APB的度數(shù)；

②如果∠MON=α°（0°＜α°＜90°），OP=m，∠APB是∠MON的關(guān)聯(lián)角，直接用含有α和m的代數(shù)式表示△AOB的面積．

（3）如圖4，點(diǎn)C是函數(shù)y=（x＞0）圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線CD分別交x軸和y軸于A，B兩點(diǎn)，且滿足BC=2CA，直接寫出∠AOB的關(guān)聯(lián)角∠APB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】是

【解析】試題分析：（1）先判斷出△OBP∽△OPA，即可；

（2）先根據(jù)關(guān)聯(lián)角求出OA×OB=4，再利用三角形的面積公式，以及相似，得到∠OAP=∠OPB，即可；

（3）根據(jù)條件分情況討論，點(diǎn)B在y軸正半軸和負(fù)半軸，在負(fù)半軸時(shí)，經(jīng)過(guò)計(jì)算，不存在，②在正半軸時(shí)，由BC=2AC判斷出點(diǎn)C是線段AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，即可．

試題解析：（1）∵P為∠MON平分線OC上一點(diǎn)，

∴∠BOP=∠AOP，

∵PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，

∴∠OBP=∠OPA，

∴△OBP∽△OPA，

∴，

∴OP2=OA×OB，

∴∠APB是∠MON的關(guān)聯(lián)角．

故答案為是．

（2）①如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OB，

∵∠APB是∠MON的關(guān)聯(lián)角，OP=2，

∴OA×OB=OP2=4，

在Rt△AOH中，∠AOH=90°，

∴sin∠AOH=，

∴AH=OAsin∠AOH，

∴S△AOB=OB×AH=OB×OA×sin60°=×OP2×=，

∵OP2=OA×OB，

∴，

∵點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，

∴∠AOP=∠BOP=∠MON=30°，

∴△AOP∽△POB，

∴∠OAP=∠OPB，

∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°-30°=150°，

②由①有，S△AOB=OB×OA×∠MON=m2×sinα；

（3）∵過(guò)點(diǎn)C的直線CD分別交x軸和y軸于A，B兩點(diǎn)，且滿足BC=2CA，

∴只有點(diǎn)A在x軸正半軸，

①當(dāng)點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸時(shí)，點(diǎn)A只能在x軸正半軸．即：點(diǎn)P只能在第四象限，

設(shè)A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＜0）

∴OA=m，OB=-n，

∵BC=2CA，

∴點(diǎn)A是BC中點(diǎn)，

∴點(diǎn)C（2m，-n），

∵點(diǎn)C在雙曲線y=上，

∴2m×（-n）=2，

∴mn=-1，

∵∠AOB的關(guān)聯(lián)角∠APB

∴OP2=OA×OB=|m||n|=1span>，

∴OP=1，

∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，設(shè)P（a，-a）（a＞0），

∴OP2=2a2，

∴2a2=1，

∴a=或a=-（舍），

∴點(diǎn)P（，-）

②當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸，由于BC=2CA，所以，點(diǎn)A只能在x軸正半軸上，

設(shè)A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0）

∴點(diǎn)C（， ），

∴×=2，

∴mn=9，

∵∠AOB的關(guān)聯(lián)角∠APB

∴OP2=OA×0B=mn=9，

∴OP=3，

∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，即：點(diǎn)P在第一象限，設(shè)P（a，a），（a＞0）

∴OP2=2a2，

∴2a2=9，

∴a=或a=-（舍）

即：點(diǎn)P（， ），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，-）或（， ）．