如圖，在長方形ABCD中，AB=4，AD=2．P是AB的中點，點Q從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿A→D→C→B的方向運動，設Q點運動的時間為x（秒）．
（1）求AP的長．
（2）若△APQ的面積為S（平方單位），用含x的代數(shù)式表示S（0＜x＜8）．
（3）如果點M與點Q同時從點A出發(fā)，點M以每秒3個單位的速度沿A→B→C→D的方向運動；當M、Q兩點相遇時，它們同時停止運動．在整個運動過程中，△AQM按角來分類可以是什么三角形，請寫出相應x的取值范圍．

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5

3

，∠C=30°．點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．
（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由．
（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

如圖，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B兩點的坐標分別為A（15，0），B（10，12），動點P、Q分別從O、B兩點出發(fā)，點P以每秒2個單位的速度沿OA向終點A運動，點Q以每秒1個單位的速度沿BC向C運動，當點P停止運動時，點Q也同時停止運動．線段OB、PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交AB于點E，射線QE交x軸于點F．設動點PQ運動時間為t（單位：秒）．
（1）當t為何值時，四邊形PABQ是等腰梯形，請寫出推理過程；
（2）當t=2秒時，求梯形OFBC的面積；
（3）當t為何值時，△PQF是等腰三角形？請寫出推理過程．

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的OA邊在x 軸上，OC邊在y軸上，且B點坐標為（4，3）．動點M、N分別從點O、B同時出發(fā)，以1單位/秒的速度運動（點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動），過點N作NP∥AB交AC于點P，連接MP．
（1）直接寫出OA、AB的長度；
（2）試說明△CPN∽△CAB；
（3）在兩點的運動過程中，請求出△MPA的面積S與運動時間t的函數(shù)關系式；
（4）在運動過程中，△MPA的面積S是否存在最大值？若存在，請求出當t為何值時有最大值，并求出最大值；若不存在，請說明理由．

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．點P從點B出發(fā)沿折線段BA-AD-DC以每秒5個單位長的速度向點C勻速運動；點Q從點C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個單位長的速度勻速運動，過點Q向上作射線QK⊥BC，交折線段CD-DA-AB于點E．點P、Q同時開始運動，當點P與點C重合時停止運動，點Q也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）當點P到達終點C時，求t的值，并指出此時BQ的長；
（2）當點P運動到AD上時，t為何值能使PQ∥DC；
（3）設射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點E運動到CD、DA上時，S與t的函數(shù)關系式；（不必寫出t的取值范圍）
（4）△PQE能否成為直角三角形？若能，寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由．