Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的OA邊在x 軸上，OC邊在y軸上，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）．動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)O、B同時(shí)出發(fā)，以1單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)），過(guò)點(diǎn)N作NP∥AB交AC于點(diǎn)P，連接MP．
（1）直接寫(xiě)出OA、AB的長(zhǎng)度；
（2）試說(shuō)明△CPN∽△CAB；
（3）在兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)求出△MPA的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△MPA的面積S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出當(dāng)t為何值時(shí)有最大值，并求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質(zhì)，以及B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），可直接的出OA、AB的長(zhǎng)度；
（2）根據(jù)過(guò)點(diǎn)N作NP∥AB交AC于點(diǎn)P，直接可得出三角形相似；
（3）用t表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得出S的關(guān)系式；
（4）利用公式可直接得出當(dāng)t=-

b

2a

=2時(shí)，二次函數(shù)有最大值

4ac-b 2

4a

．

解答：解：（1）∵矩形ABCO的OA邊在x 軸上，OC邊在y軸上，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）
∴OA=4，AB=3；

（2）∵NP∥AB，
∴△CPN∽△CAB；

（3）∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4-t，
求出CA的直線為y=-3x/4+3，代入P的橫坐標(biāo)得到P的縱坐標(biāo)，

3

4

t
所以P的坐標(biāo)為（4-t，3t/4）
∴S_△MPA=MA×y_P÷2=

1

2

×（4-t）×

3

4

t=-

3

8

t²+

3

2

t，t≤4

（4）由S關(guān)于t的函數(shù)S=-

3

8

t²+

3

2

t，
當(dāng)t=-

b

2a

=2時(shí)，二次函數(shù)有最大值

4ac-b 2

4a

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定，以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，題目比較典型，是中考中熱點(diǎn)問(wèn)題．